___ х_
(5.1.5)
пц
Эти формулы получаются из формул (4.4.2), (4.4.3) и (4.4.6) пу тем замены величин:
/|д, — величиной (х; h — величиной п;
п — величиной п+т.
(сравните графы на рис. 4.4.1 и рис. 5.1.1). В формулах (5.1.2) и (5.1.3) величина х ф \ .
Для сокращения дальнейших записей введем обозначения:
— |
" Р " |
I |
|
R (Л, а) + Р (л, а) % ■1—X |
|
(5.1.6) |
|
|
|
||
_________ 1________ |
при |
у.= 1. |
|
R{n, п) + Р(п, п)т |
|||
|
|
Заметим, что если нормировочное условие записать в виде
л—1 т
2 ^ * + 2 j°n+r = I» Аг=0 г=0
то величина р будет определяться так: |
|
|
|
1 |
при |
у. ф 1; |
|
1— х” *» |
|||
|
|
||
Я (л — 1, а) + Р (л , а) 1 - х |
|
(5.1.7) |
|
Р = |
|
||
|
|
||
R (r t— 1, н) + Я (л, л) (m -f- 1) |
при |
/ — 1. |
|
|
|
Из этого, в частности, вытекают следующие равенства:
/ ? ( » - ! , |
*) + Я(л, а) Г^ х- |
= /? (« . |
=0 + |
|
|
|
+ # (я , а )х 1 — — ( ■/ 1) ; |
|
|
(5.1.8) |
|
|
|
|
|
||
R ( n —1, |
л) + Я(я, /г)(«г-(-1)=/((л, |
«) + ^ (я> п)т, , |
|
||
в справедливости которых для любых положительных |
а и к |
||||
и любых положительных целых |
п и m можно |
непосредственно |
|||
убедиться. |
|
заявки |
равна |
вероятности |
того, |
Вероятность обслуживания |
|||||
что заявка, поступившая на обслуживание, застанет свободными хотя бы один из каналов или хотя бы одно место в очереди:
л-fm—1
Робе= ^ Pk= ^ Рпфт— 1 р%тР (п, а )= 1 ш/’тр п• (5.1.9) ft=О
1 7 5
С д р у го й стороны :
где
п |
т |
|
k p ^ |
n 2 р "*г |
|
к=0 |
г=1 |
|
среднее число занятых каналов. |
|
|
Следовательно, среднее число занятых каналов будет |
|
|
Т = — Ро6с= « (1 - * тРп)- |
(5.1.10) |
|
Вероятность того, что канал занят, равна |
|
|
* э . к = |
— |
(5.1.11) |
Вероятность того, что система полностью загружена, равна ве роятности того, что в системе заняты все каналы:
т |
т |
|
|
*п.з = 2 |
P n +r = ? P { n , а) X |
L = £ ^ 1 |
(5.1.12) |
г=0 |
г=0 |
|
|
При рассмотрении классической системы массового обслужи вания с отказами мы приводили граф состояний для определения времени неполной загрузки системы (см. рис. 4.1.3), который бу дет справедлив и для рассматриваемой СМО с ожиданием при определении закона распределения времени неполной загрузки системы.
Поэтому среднее время неполной загрузки СМО с ожиданием
будет равно среднему времени неполной загрузки /н.3, опреде ляемому для СМО с отказами [см. (4.1.26)]:,
1 R (n — 1, g)
(5.1.13)
//'J. Р (/?, а )
Рис. 5.1.2
Закон распределения времени полной загрузки системы опре деляется графом, который изображен на рис. 5.1.2. Этот граф аналогичен графу, изображенному на рис. 4.3.3, с помощью ко торого определялся закон распределения времени полной заня тости СМО с отказами и полной взаимопомощью, рассмотренной в § 4.3.
17G
Среднее время полной загрузки СМО с ожиданием определим на основании эргодического свойства [см. (5.1.12) и (5.1.13)]:
Л,з = / н .з - Лп‘3 - |
(5.1.14) |
1— Лп.з |
|
Рассмотрим величину Г„.0 — время наличия очереди в систе ме. Это время отсчитывается начиная от момента образования очереди до следующего очередного момента ликвидации очереди. Закон распределения времени наличия очереди в системе опре деляется с помощью графа, изображенного на рис. 5.1.3. Соответ-
Рис. 5.1.3
ствующую |
этому графу состояний систему |
дифференциальных |
|
уравнений |
нужно интегрировать при начальных условиях |
||
/5??+1(0) = 1; ph(0 ) = 0 при к ф п + 1. |
Функция |
распределения вре |
|
мени наличия очереди определяется из выражения |
|||
|
F « . o ( t ) = |
p „ { t ) . |
|
Среднее время наличия очереди можно найти с помощью гра фа состояний, изображенного на рис. 5.1.4. Этот граф с точ ностью до обозначений совпадает с графом СМО с отказами и полной взаимопомощью, изображенным на рис. 4.3.1.
Рис. 5.1.4
Следовательно:
1— у.1*
1 — у.т 1
Рп+г |
1 |
|
( * = 1 ). |
|
|
|
|
||
|
т + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, среднее время наличия очереди^ (т. е. среднее |
||||
время пребывания системы в группе |
состояний .vn+i, |
*n+m) |
||
определяется по формуле |
|
|
1 — ът |
|
|
1— Я |
1 |
(5.1.15) |
|
|
Т |
|
||
|
Рп |
1 — У- |
|
|
|
|
|
|
|
177
Для нахождения среднего времени занятости канала прове дем следующие рассуждения. Допустим, что к моменту оконча ния обслуживания заявки в рассматриваемом канале в системе нет очереди.
Вероятность этой гипотезы обозначим
/?Н.О== 1 ' р н . 0 1
где Рн.о — вероятность наличия очереди в системе.
Если в системе очереди нет к моменту окончания обслужи вания, то среднее время занятости канала будет равно 1 / JLI. Если
к моменту окончания обслуживания в системе будет очередь (ве роятность этой гипотезы р в . о), то среднее время занятости кана
ла будет равно — + /н.0- Применяя формулу полного матема-
тического ожидания, можно найти среднее время занятости ка нала:
/з.к= (1 — Рн.о) — |
-\-Рн.о(— + /н.о)=— + |
P H J » . O. |
(5.1.16) |
|||
Н- |
|
\ И |
) |
V- |
|
|
Вероятность наличия очереди определяется по формуле |
|
|||||
тп |
|
ш |
|
|
|
|
Рн.о=2_1 Pn+r = |
2 j Pn*r — Pn* |
|
' |
(5.1.17) |
||
г=1 |
|
г=1 |
|
|
|
|
Среднее время простоя канала найдем |
из выражения |
|
||||
|
|
Я з . к 1 |
|
|
|
(5.1.18) |
Ат.К-- А |
|
|
|
|||
1 --Яз.К
Рассмотрим другие характеристики очереди. К таким харак
теристикам относится прежде всего среднее число завок г, на
ходящихся в очереди и ожидающих обслуживания, которое оп ределяется из следующего выражения [см. (5.1.3), (5.1.6) и (4.3.13)]:
m
1 — |
[ m ( \ |
— у . ) 4 - 1 ] |
(5.1.19) |
r = Yi ГРп+г=Рп% |
( l - 7 |
(*¥=1). |
|
r=l |
. ) 2 |
|
|
|
|
|
|
При х = 1 это выражение примет вид |
|
||
7 = 2 rfP("- « )= р />(». ») . ” (” +' > |
■ ± а± И . |
(5.1.20) |
|
Г=1 |
|
|
|
В этом выражении р определяется из второго равенства в фор муле (5.1.6).
178
Найдем закон распределения времени пребывания заявки в очереди Гон, для чего найдем вероятность того, что это время
больше некоторого фиксированного |
интервала t, т. е. найдем |
P { T 04> f ) V > |
0). |
Буд^м рассматривать только стационарный режим работы. Вы двинем гипотезу, состоящую в том, что система находится в со стоянии хк (& = 0, 1, 2, п + т). Тогда по формуле полной
вероятности
п + т
Р(Т0Ч> П = 2 РкР(То.>*\хк), |
(5.1.21) |
*=0 |
|
где P(T04> t\x h) — условная вероятность пребывания в очереди в течение времени, большого, чем t, при усло
вии, что к моменту поступления очередной заявки система находилась в состоянии JC/t.
Очевидно, вероятность P(T04> t \хк)=0 при k<n, так как
в этом случае есть свободные каналы и заявка немедленно при нимается на обслуживание. Кроме того, вероятность Р(?оч>1\*п+?п) =0, так как в этом случае заявка получает отказ
и тоже в очередь не становится. Следовательно:
/и—1
|
/ >(Г0Ч> |
/ ) = 2 |
Pn+rP(T04> i \ x n+r). |
(5.1.22) |
||
|
|
|
г=0 |
|
|
|
(m-r) |
|
|
г заявокВ очереди |
cm |
|
|
мест в очереди |
|
|
||||
i--------А-------- , |
|
_______ |
ш |
|
||
t—1Ы •• н—101—|0нч |
|
m |
Каналы |
|||
••• 1—101—101- LTJ |
обслуживания |
|||||
ТП ^ |
г + / |
Т |
Г-1 |
|
1 |
|
0 |
Вновь построившая |
|
С Ю |
|
||
заявка |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Рис. 5.1.5 |
|
|
Вероятность того, что время ожидания в очереди Точ будет боль ше, чем t, при условии, что перед данной заявкой имеется оче редь, в которой стоят г заявок (г = 0, 1, 2, ..., m— 1) (см. рис. 5.1.5) равна вероятности того, что за время t будет обслу
жено не более г заявок, при этом обслуживание производят всея каналов. При наличии очереди, когда все п каналов заняты, по
179