ток обслуженных заявок будет простейший |
с |
параметром /гр, |
||||||||||||
следовательно:! |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
^ |
|
L |
|
e- ^ |
= R{r, |
n\U). |
|
||
|
Я(7'0Ч> ^ |х „ +г) = У |
|
|
(5.1.23) |
||||||||||
|
|
|
|
k =0 |
|
k\ |
|
|
|
|
|
|
||
С учетом этого выражения, |
а также выражений |
(5.1.22), |
(5.1.3) |
|||||||||||
и (5.1.5) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P(T04> t ) = |
t |
y-rpn V |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r = 0 |
|
|
|
k = 0 |
|
|
|
|
||
Изменим |
порядок суммирования: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
т—1 |
|
|
|
|
|
|
ш—1 |
|
7л _ |
||
Р{Т0Ч>£) = рле г ^ У) |
(щ^)к |
S ■г = |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
/г;х/) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
k\ |
Р п |
|
1 -7 . |
|||||||
|
|
|
* = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
* =0 |
|
|
|
|
|
|
"тп—1 |
<W0* |
е- ща _ |
%тц (nl _ |
|
|
|
|||||
|
|
Рп |
у |
1 |
|
|
||||||||
|
|
1 —7. |
— |
k\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lfe= o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-(nx,-i)t[^ (m _ |
1 1 X/)- x*tf (от— 1, «u/)j |
(5.1.24) |
|||||||||
При |
y.= l |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7 1 - 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
P{T04> t ) = Pne ~ ^ |
£ |
|
k\ |
|
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k = 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m—1 |
|
|
|
|
|
|
|
= Pn |
от/? (m — 1, |
/ZIJ./) — |
^ |
ke~n'lt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft= 0 |
|
|
|
|
|
|
= ;?„ [от/? (m — 1, n\it) —n^tR(m — 2, |
//.tx/)] |
(от > 1), |
(5.1.25) |
||||||||||
|
П |
£Я(£, a)= aR(n — 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
так |
как ^ |
я) |
(я > 0 ) . |
|
|
|
||||||||
|
ft= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что при f< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
я ( |
Г |
о |
ч |
> |
о |
= |
1 , |
|
|
|
так как время ожидания заявки в очереди есть величина неотри цательная. При t = 0 имеет место скачок
{гп , |
(х ф 1); |
1--Л |
(5 . 1.26) |
180 |
рпт |
Вероятность противоположного события T04^ t будет равна
Р ( Т 0ч < 0 = 1 - Р (Гоч > *). |
(5.1.27) |
Типичный график этой зависимости показан на рис. 5.1.6.
Функция распределения случайной величины Точ определяет
ся так:
ч V) = Р (Топ < ty= 1 - Р (Гоч > t ) - P (Гоч = *)• (5.1.28)
Вероятность P(T04 = t) имеет смысл только при ^= 0. График
функции распределения показан на рис. 5.1.7.
Мы видим, что случайная величина Точ является случайной
величиной смешанного типа, так как функция распределения имеет скачок и интервал непрерывного возрастания. Для вычис ления различных начальных моментов случайной величины Точ
можно воспользоваться следующей формулой:
«Л7’о . ,] = - ^ * -^ -P (T 04> t)dt. |
(5.1.29) |
О |
|
С помощью этой формулы при k= l можно получить выраже
ние для математического ожидания времени нахождения в оче реди:
^1^оч] = ^оч-
Для нахождения функции----—Р(Т0Ч> t) можно использо-
Ot
вать следующий прием. Время ожидания Ттданной заявки в оче
реди при условии, что перед ней стоит в очереди г заявок (см. рис. 5.1.5), равно сумме (г+1) времени обслуживания в предпо ложении, что работают все п каналов. Так как работают все ка
налы, то время, протекающее между вызовами двух очередных заявок из очереди, распределено по показательному закону с параметром n\i. Следовательно:
Г г = 2 Tt (г = 0, 1, . . . , т - 1 ) , |
(5.1.30) |
i= i |
|
181
где Ti(i=l, |
r + 1 ) — независимые случайные |
величины, рас |
|||||
|
|
|
пределенные одинаково по показательно |
||||
|
|
|
му закону с параметром лц. |
|
|
||
С подобной суммой мы сталкивались раньше в § |
1.5 при изу |
||||||
чении |
потока |
Эрланга. |
Там было показано, |
что |
сумма |
||
(5.1.30) |
подчинена |
закону |
Эрланга r-го порядка, т. |
е. [см. |
|||
(1.5.22)] |
плотность |
распределения величины Т,- |
будет иметь вид |
||||
|
f r (t)= П|^ |
° Г е~^‘. |
(5.1.31) |
||
Теперь по формуле полной вероятности можно |
найти функ- |
||||
ци ю ---- ^ - Р ( Г оч> 0 : |
|
|
|
|
|
|
m — 1 |
|
m — 1 |
|
|
~ - ~ P ( T c, > t ) = X М 0 р» г= Х Л ^ И е- ^ ’р ,= |
|||||
|
г= 0 |
|
г = 0 |
|
|
= |
/7,)Л!хе-(л1-Х)</?(/л — 1, |
/i). |
(5.1.32) |
||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
со |
|
ос т — 1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
г—0 |
|
|
т — 1 |
|
оо |
|
т — 1 |
|
= Рп j |
(/г; Г |
1 \ tre~^dt= , j v//7„= |
|||
r = О |
’ |
0 |
|
r = О |
|
|
//2 — 1 |
|
I — У-т |
, , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
рп+г= рп 1 — - < \ . |
||
гS=0
Этот интеграл не равен единице, так как он не учитывает то го обстоятельства, что заявка вообще может не находиться в оче реди: получит немедленный отказ или немедленно будет приня та к обслуживанию.
Единице будет равно следующее выражение:
~ \ ~ t p {Т°" > tydt+ р {Т°ч= 0 ) = 1 ’
0
где
Р(Точ = 0) = \ - р п^ —
есть вероятность того, что время пребывания в очереди будет равно нулю.
182
Если ввести в рассмотрение дельта-функцию 6(х) (см. § 1.5), то можно записать выражение для плотности распределения вре мени ожидания в очереди /0ч(0- Напомним, что дельта-функция обладает следующими основными свойствами:
o(jt)=0 при хфО]
^<o(x)b(x)dx=<?(0),
если ф(л) непрерывна в точке дс=0; 8 (х) ф (л) = 0;
если ф (х) — нечетная функция.
Плотность распределения времени пребывания заявки в оче реди имеет вид
pnny.e~^-l)‘R (т — 1, >i) 4- о (г) X
/оч(*) = |
|
|
(5.1.33) |
|
|
|
|
||
P,;KR (т - 1 , |
х/) + |
8 (t) (1 - рпт) (•/.= 1), |
||
г д е |
Р (л, |
а) |
|
|
I |
1 — %т (у- т-1); |
|||
Р (л, |
|
|||
i R (п, I) + |
а) * —-------- |
|||
Рп=\ |
|
|
(5.1.34) |
|
|
Р(п, |
п) |
_____ |
|
R (я, |
п) + Р (л, |
л) т |
||
Если требуется определить лишь среднее время нахождения заявки в очереди ?0ч, то закон распределения времени 70ч отыс кивать не требуется. Покажем это (см. гл. 3). Допустим, что время ожидания данной заявки в очереди попало в элементарный ин тервал (t, t+dt). Вероятность этой гипотезы приближенно рав на f04{t)dt. За время пребывания заявки в очереди за этой за
явкой образуется очередь, в которой в среднем будет находить ся Kt заявок. Следовательно, полное математическое ожидание
числа заявок, находящихся в очереди, будет определяться из выражения
7 = ^ } J f04(t)dt—lJ04y |
(5.1.35) |
О |
|
откуда формула для определения среднего времени ожидания за явки в очереди примет вид
г
(5.1.36)
183
Среднее время нахождения заявки в системе
Т __ г Ч~ k |
__ |
I _ |
(5.1.37) |
||
~ |
л |
_ |
X ’ |
||
|
|||||
где 1 = г + к — среднее число |
заявок, находящихся в системе. |
||||
Таким образом, для отыскания |
среднего времени ожидания |
||||
заявки в очереди требуется лишь знание среднего числа заявок, находящихся в очереди. Таковы основные характеристики време ни пребывания заявок в очереди.
Рассмотрим теперь случай, когда вероятность успешного обслуживания заявки, побывавшей на обслуживании, равна р< 1. Все характеристики системы, кроме вероятности Р0бС, оста
ются неизменными. Вероятность обслуживания заявки в этом случае определяется по формуле
Я о б с = р(1 — Р п + т )- |
(5.1.38) |
Абсолютная пропускная способность будет равна |
|
Х0 = }.Po6c= \р (1 — рп+ т). |
(5.1.39) |
Обратим внимание читателя на то, что при рассмотрении ста ционарного режима работы СМО с ожиданием мы ограничились лишь случаем ограниченного числа мест в очереди (/п<оо). При неограниченном числе мест в очереди (т = оо) стационарный ре
жим работы системы существует только при условии, что
-/. = — < 1 . |
(5.1.40) |
ГЦХ
Это условие указывает на то, что среднее число заявок, обслу живаемых в единицу времени всеми п каналами, должно быть
больше среднего числа заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если это условие не выполняется и число мест в оче реди не ограничено (т = оо), то стационарного режима работы
наблюдаться не будет. Это можно объяснить следующим обра
зом. При |
х = — > |
1 система |
все время |
(неограниченно) будет |
|
|
П\х |
|
|
|
|
двигаться |
«вправо», |
т. е. перемещаться |
в сторону |
состояний с |
|
большим |
числом г, |
и очередь |
будет неограниченно |
возрастать. |
|
Однако стабилизации этого движения «вправо» не наступит, так как система не справляется с потоком заявок, что приводит к
постоянному |
увеличению |
очереди. Заметим, |
что если и ^ 1 , то |
для любого |
к о н е ч н о г о |
г |
|
|
Нш рп+г (/) = 0, |
(5.1.41) |
|
|
t-+oo |
|
|
так как система рано или поздно пройдет это состояние и практи чески в него уже не вернется.
184