Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

нарных, независимых потоков, сравнимых по интенсивности, достаточно для того, чтобы суммарный поток был близок к про­ стейшему.

Остановимся несколько подробнее на понятии «сложение» потоков. «Сложение» двух потоков П\ и П2 состоит в том, что все

моменты появлений событий в этих потоках относятся к одной оси 01 (см. рис. 1.6.1), на которой отмечаются моменты появле­ ния событий в суммарном потоке П = ПХ+ П2.

«____________ . ___. ____

Рис. 1.6.1

При сложении п потоков интенсивность суммарного потока

определяется следующим образом:

го потока событий достаточно знать лишь интенсивности сумми­ руемых потоков событий и практически не требуется знать внут­

реннюю структуру этих потоков. Как указывалось выше, для

сходимости суммарного потока событий к простейшему требуется взаимная независимость склады­ ваемых потоков. Поясним поня­ тие независимости потоков на примере двух потоков. Рассмот­ рим участок времени ть наложен­ ный на поток событий П\. Участок

TI может иметь произвольную длительность и начало его может быть в произвольной точке t\ оси времени 01 (см. рис. 1.6.2).

Таким же образом выберем участок времени т2 в потоке Я2. Случайное число событий в потоке Пи наступающих на участке времени п, обозначим Х\. Случайное число событий в потоке Я2, наступающих на участке времени т2, обозначим Х2. Потоки со­ бытий Пх и Я2 называются независимыми, если случайные вели­ чины Х\ и Х2 независимы. Короче это можно сформулировать

следующим образом: два потока называются независимыми, ес­ ли число событий, попадающих на любой участок времени

32

в первом потоке не зависит от того, сколько событий попало на любой участок времени во втором потоке.

На практике часто потоки возникают в результате сложения не строго независимых, а слабо зависимых потоков событий. Ис­ следования, проведенные методом статистических испытаний, по­ казывают, что и в этом случае (при достаточном числе слагае­ мых) суммарный поток также оказывается близок к простейшему.

До сих пор мы рассматривали только сложение стационар­ ных потоков событий. Оказывается, если складываемые потоки не стационарны, то предельное свойство также имеет место: по­ лучается суммарный поток, близкий к нестационарному пуассо­ новскому с интенсивностью

где hj(t) — переменная интенсивность /-го потока. При этом для любого момента времени t интенсивности всех пото­

ков должны быть соизмеримы.

Из всего вышеизложенного следует, что многие потоки собы­ тий, возникающие на практике и фигурирующие в задачах мас­ сового обслуживания, можно приближенно считать пуассонов­ скими.

Так, например, поток космических частиц является практиче­ ски пуассоновским, так как частицы порождаются очень боль­ шим числом звезд, испускающих эти частицы независимо друг от друга. Поток машин на загородном шоссе будет также прак­ тически пуассоновским потоком, так как он состоит из отдель­ ных машин, выезжающих на шоссе с различных улиц и дорог. Поток самолетов, осуществляющих посадку на аэродром, также близок к пуассоновскому, несмотря на то, что его стремятся сде­ лать строго регулярным (заранее планируют время приземления каждого самолета). Это объясняется тем, что самолеты прибыва­

в о с т ь ю, состоящей в том, что при суммировании независимых пуассоновских потоков получается снова пуассоновский поток, причем интенсивности складываемых потоков суммируются. Д о­ кажем это свойство, которое понадобится нам в дальнейшем.

Рассмотрим участок времени произвольной продолжительно­ сти т, начало которого находится в произвольной точке ty нала­

гаемой на все складываемые потоки (рис. 1.6.3). Введем в рас­ смотрение случайную величину Xj — число событий, наступив­ ших на участке времени т, в потоке /7,- (/= 1, 2, ..., п). Так как все потоки пуассоновские, то случайная величина Xj распреде­

лена по закону Пуассона с математическим ожиданием

33

aj = aj{t, т)= j lj{t)dt, 1

где ?.j(t) — интенсивность потока IJj.

Характеристическая функция случайной величины Xj, распре­ деленной по закону Пуассона с параметром aj(t, т), будет

подчинена закону Пуассона с параметром

Найдем характеристическую функцию g(x) случайной вели­ чины X. Так как потоки Я ь /72, ..., Пп независимы, то случайные величины Х\, X2i ...» Хп тоже независимы и, следовательно [см. ( 1.2.6), (1.6.3) и (1.6.5)]:

Сравнивая это выражение с выражением (1.6.3), убеждаемся, что случайная величина X подчинена закону Пуассона с пара­ метром л, что и требовалось доказать.

Таким образом, складывая независимые пуассоновские по­ токи, мы снова получаем пуассоновский поток.

34

2. Предельная теорема для редеющих потоков

Потоки событий, встречающиеся на практике, часто подвер­ гаются операции «разрежения». Она состоит в том, что под влия­ нием случайных причин те или иные события выпадают из по­ тока. Например, поток космических частиц, прежде чем достичь уровня земли, редеет за счет столкновения этих частиц с атома­ ми атмосферы; поток самолетов, прорывающихся через систему ПВО противника, редеет за счет поражения части этих самоле­ тов; поток готовых изделий тоже редеет за счет выбраковывания

дое событие с определенной вероятностью р исключается из пото­

ка независимо от того, исключены другие частицы или нет. Рассмотрим подробнее такое случайное разрежение. В каче­ стве исходного потока событий П рассмотрим стационарный

поток Пальма. К этому потоку событий применим операцию раз­ режения, состоящую в том, что каждое событие, независимо от других, переносится из исходного потока в разреженный поток Пр с неизменной вероятностью р (следовательно, выбрасывается с вероятностью q= 1— р\ рис. 1.6.4).

Такую операцию разрежения будем называть «операцией Rv» и обозначим Rp{17}:

n p= R p {п }.

Допустим, что в исходном потоке Пальма интервал между со­ седними событиями Т имел характеристическую функцию g{x). Найдем характеристическую функцию интервала Тр между со­ седними событиями в разреженном потоке Пр.

Для отыскания этой характеристической функции проведем преобразования, связанные с анализом случайного числа случай­ ных слагаемых. Рассмотрим последовательность случайных величин Х\уХ2у X3, Суммой п случайных слагаемых будем на­

зывать выражение вида

где п — вполне определенное неслучайное число.

35

Теперь представим себе опыт, в результате которого сумми­ руется не определенное число слагаемых п, а случайное число

слагаемых У Тогда суммой случайного числа случайных слагае­ мых будет выражение

i=1

где случайная величина У может принимать только положи­ тельные целочисленные значения (1, 2, 3 ...). Число возможных значений случайной величины У может быть либо ограничено некоторым конечным числом п, либо равно бесконечности.

Вернемся к исследованию случайной величины Тр. Очевидно, что случайная величина Тр может быть представлена как сумма

случайного числа случайных слагаемых

Тр = \ т ь 1=1

где случайные величины Ti(i = 1, 2, ...) взаимно независимы и

каждая имеет характеристическую функцию g(x).

Случайная величина Z представляет собой число просумми­ рованных интервалов в исходном потоке П и подчинена закону

Паскаля:

чайная величина Z = k. В предположении, что эта гипотеза имела

место, получим выражение для условной характеристической функции [см. ( 1.2.7)]:

Следовательно, безусловная характеристическая функция величины Гр будет

так как 0 < 9< 1 и | g ( x ) | ^ l .

36