Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Вероятность того, что будет занята хотя бы одна специальная станция (вероятность наличия очереди) равна

При неограниченном увеличении числа специальных станций получим

lim /?н.о(//г) = 0,466.

се

Среднее время наличия очереди

lim /„.к(т)= 0,444 лши.

/« -► С О

6.6.8. Рассматривается работа четырехканальной системы

ПВО с двумя специальными станциями, следящими за целями с такими же параметрами, как и в задаче 6.6.7. Определить, на­ сколько увеличится эффективность такой системы ПВО по срав­ нению с рассмотренной в задаче 6.6.7.

Р е ш е н и е

Вероятность поражения самолета определяется по формуле (6.2.22):

Л>бс=0*390.

Эффективность увеличилась на Д = 0,390—0,285=0,105, что составляет около 27%.

260

При неограниченном увеличении числа специальных станций, следящих за целями т-+оо, получим

Hm P 0rJC(m) = 0,446.

/71—►эо

Сравнивая результаты решения этой задачи с результатом, по­ лученным в задаче 6.6.4, убеждаемся в том, что введение двух специальных станций, следящих за целями, в четырехканальной системе ПВО приводит к большему повышению эффективности по сравнению со случаем неограниченного увеличения числа ка­ налов: 0,390>0,380.

3. Система ПВО с ожиданием и взаимопомощью между каналами

Аналогичная система рассматривалась в § 6.3. При рассмот­ рении системы ПВО взаимопомощь между каналами состоит в том, что одну цель могут одновременно обстреливать / каналов, при этом эффективная скорострельность увеличивается в / раз.

(п = 4) с ожиданием (т = 2) и взаимопомощью между каналами (1 = 2). Характеристики системы ПВО следующие:

—скорострельность каждой пусковой установки

~_ J ____l _ .

^3 мин

—вероятность поражения цели одной ракетой

^— 0,570;

—станция наведения обеспечивается двумя пусковыми уста­ новками (g = 2);

— длина полосы обстрела а = 35 км\

—скорость налетающих самолетов при условии, что они не обстреливаются:

^„.□= 840 км\яас\

—скорость налетающих самолетов при условии, что они об­ стреливаются:

v= 1300 км\яас\

—средний линейный интервал между самолетами 1=7 км\

—число каналов п= 4;

—число станций подслеживания т = 2;

2Q1

— максимальное число взаимодействующих каналов 1 = 2.

Определить пропускную способность системы ПВО. Р е ш е н и е Рассчитаем параметры работы системы:

амин

мин

1

v = - ^ - = 0,4

мин

Х = — = 2 —

мин

1_ - 2;

(А *

Ф= — =3,23;

Вероятность р0 того, что будут свободны все каналы, можно найти по формуле (6.3.15). Ввиду того, что в нашем случае вели­ чина ф не целое число, нужно расчет всех функций R(m,a) и Р(т, а) произвести для значения [ф]—4 и [ф]+1 = 5, а затем итоговые формулы проинтерполировать на ф=4,45. Можно про­ водить и интерполяцию самих функций R(tn, а) и Р(т, а) на Ф=4,45. Остановимся на последнем способе*. Найдем значение следующих функций {см. (6.3.15)]:

Расчеты показывают, что в обоих случаях погрешность весьма мала.

262

Я (/г+ср -й; ф)= Р (4 —2+4,45; 3,23)= Р (6; 3,23) +

+ [Р (7; 3,23) —Р (6; 3,23)]-0,45=0,0574;

Р(<Р, ф)= Я(4,45; 3,23) = Р(4; 3,23) + [Р(5; 3,23) —Р(4; 3,23)] X

X0,45=0,151;

Р(0, а*)= Р (0; 1,45)=0,224;

Р(А, ар = Р(2; 1,45)=0,252;

Р (8, у) = Р(Ь, 5)=0,176;

/?(Л, «*)=/?(2; 1,45)=0,810;

R (т + о, Y)= P (7,5) = 0,867;

Р(о, Y)= Я (5,5)=0,616.

Теперь можно найти вероятность р0 [см. (6.3.15)]:

р0= 0 ,166.

Для определения среднего числа занятых каналов k найдем значение функции R{h— 1, а;*):

Р(Л — 1, а*)= Р ( 1; 1 ,45)= 0,167.

Теперь по формуле (6.3.19) найдем среднее число занятых каналов Тс:

£ = 3 ,7 3 .

Вероятность поражения цели будет равна

Робе = -^— =0,709.

К

Сравним полученную вероятность поражения цели с вероят­ ностью поражения цели при отсутствии взаимопомощи при про­ чих равных параметрах (см. задачу 6.6.2). Мы видим, что нали­

чие взаимопомощи между каналами в данном случае резко по­ вышает эффективность системы ПВО: вероятность увеличивается на величину

А= 0,709 — 0,390 = 0,319,

т.е. приблизительно на 82%.

263

6.6.10. Провести качественное сравнение пропускной способ­ ности рассмотренных в этой главе систем ПВО при различных интенсивностях налетающих самолетов К (исследовать стацио­

нарный режим работы). Р е ш е н и е

Для краткости будем называть систему ПВО с отказами и упорядоченным обслуживанием, рассмотренную в § 6.1, первой

системой ПВО; систему ПВО с отказами и случайным распре­ делением целей, рассмотренную в задаче 6.6.6, второй системой

ПВО; систему ПВО с ожиданием и упорядоченным обслужива­ нием, рассмотренную в § 6.2,— третьей системой ПВО и систему ПВО с ожиданием и взаимопомощью, рассмотренную в этом параграфе,— четвертой системой ПВО.

Будем считать 1 йсе параметры рассматриваемых систем (п, р, Я, г), т, v) одинаковыми. Обозначим вероятность пораже­

ния налетающего самолета для первой системы ПВО Робе ; для

второй — Яобс , для третьей — Робе , для четвертой — Р (04б с , абсолютные пропускные способности рассматриваемых систем ПВО — Ао(1); Ы2)\ ЫЪ)\ ЫА) соответственно; будем рассматривать

эти величины как функции интенсивности налетающих самолетов А, при прочих равных параметрах (п} р, г], /п, v).

На рис. 6.6.10а показана зависимость вероятности поражения

самолета для различных систем ПВО от плотности налетающих самолетов К.

, Для любых систем без взаимопомощи между каналами (т. е. кргда одну цель может обстреливать только один канал)

Другими словами, когда рассматривается малая плотность налета, практически одиночный самолет, вероятность его пора-

264