Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Глава 7

ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

До сих пор мы рассматривали системы массового обслужива­ ния, на которые поступал поток заявок с интенсивностью К, при­ чем эта интенсивность К не зависела от состояния СМО, а сами

источники заявок находились вне системы и нами не рассматри­ вались.

В данной главе рассмотрим другие системы массового обслу­ живания, где интенсивность потока заявок зависит от состояния СМО, а сами источники заявок являются не внешними, а внут­ ренними элементами СМО. С такими случаями мы встречаемся, когда СМО обслуживает ограниченное число «клиентов» (источ­ ников заявок), сравнимое по количеству с числом каналов об­ служивания. Находясь под обслуживанием, данный «клиент» (источник заявок) перестает подавать заявки, а после конца обслуживания снова становится источником заявок. Классиче­ ским примером такой системы является работа группы наладчи­ ков в ткацком цеху: станки являются источниками заявок, а на­ ладчики — каналами обслуживания. Интенсивность поступления заявок на обслуживание зависит от того, сколько станков в дан­ ный момент работает и сколько станков обслуживается или ожидает обслуживания.

Такие системы, в отличие от рассмотренных ранее, будем на­ зывать замкнутыми системами (так как источник заявок здесь

является элементом системы).

Рассмотрим несколько примеров работы замкнутых систем массового обслуживания.

Первый пример: допустим, что на аэродроме базируется пг са­ молетов (источников заявок), и имеется п мест проведения ре­

монтных работ (каналов обслуживания). Обычно /г < т , т. е. число мест проведения ремонтных работ меньше общего числа самолетов, приписанных к данному аэродрому. На каждом само­ лете после выхода из строя каких-то его элементов или налета определенного числа часов требуется проводить ремонтные ра­ боты.

272

Будем считать, что каждый самолет, находящийся в эксплу­ атации, «генерирует» поток заявок на ремонтные работы, интен­ сивность которого обозначим л, а находящийся в ремонте пли ожидающий его — не генерирует потока заявок, так как не экс­ плуатируется. Тогда общий поток заявок на ремонтные работы будет зависеть от числа самолетов, которые в настоящий момент эксплуатируются. Например, если эксплуатируются все т само­

летов, то интенсивность потока заявок на ремонтные работы будет равна тХ. Если эксплуатируется только k самолетов из т, то интенсивность потока заявок на ремонтные работы будет равна kX.

Таким образом, интенсивность потока заявок существенно зави­ сит от того, какое число самоле­ тов находится в эксплуатации,

т.е. зависит от состояния СМО.

Вкачестве второго примера можно рассмотреть работу гара­ жа, в котором имеется т автома­ шин и п мест ремонта. При по­

ломке машины ее направляют в ремонт. В ремонт могут направ­ ляться машины, нуждающиеся в

профилактическом ремонте. Рассматривая работу различ­

ных систем с ограниченным числом источников заявок (замкну­ тых систем массового обслуживания), полезно иметь в виду об­ щую схему изменения состояний каждого технического устрой­ ства (ТУ) (источников заявок), изображенную на рис. 7.1.1. Будем считать, что каждое ТУ, подавшее заявку на обслужива­ ние, немедленно снимается с эксплуатации.

Состояние «техническое устройство работает» состоит в том, что данное ТУ не нуждается в обслуживании. В примере с аэрод­ ромом это состояние состоит в том, что самолет эксплуатируется и не нуждается в проведении ремонтных работ. В примере с гара­ жом это состояние состоит в том, что машина работает нормаль­ но и не нуждается в ремонте или профилактическом осмотре. Находясь в этом состоянии, ТУ генерирует поток заявок с интен­ сивностью X.

В случае отказа (поломки) ТУ его направляют на обслужи­ вание (ремонт, наладка, производство регламентных работ, про­ филактика и т. д.). Если имеются свободные места для обслужи­ вания техники, то ТУ принимается на обслуживание и обслужи­ вается. Если свободных мест для обслуживания техники нет, то техника вынуждена простаивать (ожидать обслуживания). По­ сле освобождения мест обслуживания техника принимается на обслуживание. Места обслуживания будем называть каналами обслуживания. При нахождении ТУ в состояниях «техническое

2 7 8

устройство ожидает обслуживания», «техническое устройство обслуживается», оно (ТУ) не генерирует потока заявок (не мо­ жет выйти из строя, поломаться).

Так как мы условились рассматривать только пуассоновские системы массового обслуживания, то будем считать, что каждый канал обеспечивает пуассоновский поток обслуживаний с интен­ сивностью р, а каждое техническое устройство (самолет, авто­ машина и т. д.) порождает пуассоновский поток отказов с интен­ сивностью X, если ТУ находится в состоянии «работает».

Обозначим через т общее число ТУ, подлежащих обслужива­ нию, R(t) — случайное число ТУ, ожидающих очереди на обслу­ живание в момент времени tyS(t) — случайное число обслужива­ емых ТУ в момент времени t и H (t) — случайное число заявок, не нуждающихся в обслуживании в момент времени t.

Для любого момента времени t имеет место равенство

или, переходя к математическим ожиданиям:

тп= г (t) -j- s (/) -|- h (/).

Для стационарных режимов работы замкнутых систем получим

для замкнутой системы. Величины в этом уравнении не зависят от времени.

Вероятность того, что ТУ не будет нуждаться в обслужива­ нии (или коэффициент использования), определяется по фор­ муле

Вероятность того, что ТУ будет нуждаться в обслуживании, равна

; = 1 _ S = - L ± i -

тп

Вероятность того, что ТУ находится на обслуживании, най­ дем по формуле•

274

Тогда вероятность того, что ТУ находится в очереди (ожидает обслуживания), определится по формуле

Введем в рассмотрение следующие временные характери­

сти» (подачи очередной заявки).

Тогда на основании эргодического свойства будут выполнять­ ся следующие равенства:

Среднее время полного цикл£ обращения ^технического уст­ ройства найдем из выражения / ц = / 0ч + /абс + /р.

§ 7.1. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ БЕЗ ВЗАИМОПОМОЩИ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а за д а ч и : имеется т одинаковых техниче­

ских устройств, каждое из которых может в некоторые случай­ ные моменты времени нуждаться в обслуживании (отказать, выйти из строя и т. п.). Поток отказов каждого ТУ пуассонов­ ский с интенсивностью X. В качестве ТУ могут рассматриваться

станки, самолеты, автомашины и т. д. Каждое ТУ может обслу­ живаться одним из п каналов. Интенсивность пуассоновского

потока обслуживаний каждого канала р,. Если к моменту отка­ за ТУ все п каналов будут заняты, то это ТУ станет в очередь*

* Время полного цикла обращения слагается из времени однократного пребывания ТУ в очереди, времени обслуживания и времени однократной работы ТУ.

275