Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

жения равна вероятности того, что за время пребывания его в зоне обстрела цель будет поражена. Поэтому, если рассматри­ ваются различные системы ПВО без взаимопомощи при малой интенсивностиналета, вероятность поражения цели практически не зависит ни от числа каналов в системе ПВО, ни от наличия станций подслеживания. Если рассматривается система ПВО со взаимопомощью с максимальным числом взаимодействующих каналов / (/ = 2, 3, ..., п) *, то

Яобс (0 )= 1 im Яобс (X)=

Х-*0

Эту формулу можно обосновать следующим образом: при налете одиночного самолета его будут обстреливать одновременно / каналов. Таким образом, общая эффективная скорострельность будет равна /р.

Следовательно, при малой интенсивности налета система ПВО со взаимопомощью имеет определенное преимущество по сравнению со всеми другими системами ПВО без взаимопомощи, которые обладают одинаковой вероятностью поражения цели.

Для любого А,>0 существует следующее соотношение между вероятностями поражения самолета для различных систем ПВО:

Pitе (X) > Pltc (X) > Pitс (X) > P (otС(X).

Однако при очень больших плотностях налета (при К— мх>)

разность между этими вероятностями будет стремиться к нулю, так как

lim я£бс(Х)=0 (/= 1 , 2, 3, 4).

Это означает, что при больших плотностях налета все рассмат­ риваемые системы будут практически иметь одну эффектив­ ность. Для разъяснения этого положения рассмотрим графики зависимостей абсолютных пропускных способностей всех систем ПВО, приведенные на рис. 6.6.106.

Для рассматриваемых систем ПВО существуют следующие •соотношения для абсолютных пропускных способностей:

4 4>(X) > XQ3) (X) > 4" (X) > 4 2) (X) (X > 0 );

при имеем

Хо0 (0) = lim XQ'1 (X)= 0 (/= 1 , 2, 3, 4), л-»0

так как в этом случае нет потока налетающих самолетов и сред­ нее число сбитых самолетов равно нулю;

* Максимальным числом взаимодействующих каналов называется такое число каналов, которое может одновременно обслуживать одну цель.

265

при Я.->оо получим

И ш 4 ° ().)=л}л(г = 1, 2, 3, 4),

X-*- оо

так как при большой плотности полета все п каналов всегда

будут практически заняты и общее среднее число сбитых самоле­ тов в единицу времени будет определяться только общим числом каналов п и эффективной скорострельностью каждого канала ц.

Таким образом, методы теории массового обслуживания сле­ дует применять тогда, когда интенсивность потока налетающих

вать подробно систему массового обслуживания, следует прове­ сти качественный анализ. При этом можно дать следующие прак­ тические рекомендации:

если для систем без взаимопомощи

или для систем со взаимопомощью

то можно практически считать параметр X малым;

если

>0 > 10/i[i,

то можно практически считать парамерт X большим.

266

6.6.11. Рассмотрим вопрос о выборе рационального интерва­ ла между самолетами при преодолении системы ПВО. В этом параграфе были рассмотрены различные системы ПВО. При этом для любой системы ПВО вероятность поражения отдельно­ го самолета Р 0бс при прочих равных условиях тем меньше, чем

больше плотность налета. Таким образом, при планировании на­ лета нужно уменьшать средний интервал между самолетами /, стремясь сделать его по возможности небольшим. Однако умень­ шение интервала I приводит к повышению требований к технике пилотирования. Кроме этого, при малых интервалах I возможно

поражение одним и тем же снарядом двух или более соседних самолетов, особенно если радиус поражения Ra снарядов ПВО

сравним с интервалом между самолетами /. Налицо противоре­ чие: с одной стороны, при увеличении плотности налета А, (умень­ шении интервала между самолетами I) вероятность поражения самолета Р0бс уменьшится за счет того, что система ПВО пере­

гружается, но с другой стороны, увеличивается вероятность по­ ражения одним и тем же снарядом соседних самолетов при на­ личии значительного радиуса поражения Ru. Следовательно, для

каждой системы ПВО (с ее характеристиками) и каждого типа налетающих самолетов существует рациональный (оптималь­ ный) интервал I между самолетами, при котором полная веро­ ятность поражения самолета Р будет минимальна. Обозначим полную вероятность поражения отдельного самолета Р\ вероят­ ность непоражения Q = 1—Р.

Очевидно, полную вероятность непоражения самолета можно определить как вероятность произведения двух событий:

Q= P{A-B),

где А — непоражение самолета теми снарядами, которые наво­

дились по нему самому;

В— непоражение самолета теми снарядами, которые наво­ дились по соседним самолетам.

События А и В, строго говоря, зависимы, однако эта зависи­

мость небольшая и приближенно можно считать, что

молетам.

Вероятность Рв зависит от строя, в котором летят самолеты, и от

радиуса поражения снаряда /?п.

Допустим для простоты, что самолеты летят кильваторной колонной со средним интервалом /. На рис. 6.6.11а изображен

267

такой поток самолетов (по оси абсцисс откладывается рассто­ яние).

Самолеты, проходящие систему ПВО и не пораженные сна­ рядами, которые наводились на эти самолеты, изображены на рисунке кружочками; самолеты, которые поражаются наводимы­ ми на них снарядами, изображены крестиками, остальные само­ леты, на которые снаряды не наводились, также изображены кружочками.

Рассмотрим стационарный режим работы системы ПВО. Ес­ ли плотность налета была А,, то линейная плотность налета (сред­ нее число самолетов на единицу длины Хл) будет равна

где v — скорость налетающих самолетов.

Введем в рассмотрение случайную величину X — линейное расстояние между самолетом, обозначенным на рис. 6.6.11а кру­

жочком, и ближайшим самолетом по направлению полета, поме­ ченным крестиком. Другими словами, случайная величина X —

это расстояние между самолетом, который не поражается наво­ димыми по нему снарядами, и центром ближайшего по направ­ лению полета взрыва. Если поток самолетов во времени был простейший пуассоновский, с интенсивностью А, то и поток само­ летов, изображенный на рис. 6.6.11а будет также простейшим с

рис. 6.6.11а кружочками. Для нахождения закона распределения случайной величины X введем в рассмотрение ряд гипотез:

Но — ближайший (по направлению полета) впереди летящий

самолет был поражен снарядами, которые по нему наводи­ лись;

Н1 — ближайший впереди летящий самолет не был поражен сна­

рядами, которые по нему наводились, а следующий за ним самолет был поражен снарядами, которые наводились по нему;

2 6 8

Hh — первые k впереди летящих самолетов не были поражены снарядами, которые по ним наводились, a k + l впереди

летящий самолет был поражен снарядами, которые по нему наводились и т. д.

Очевидно:

Если имела место гипотеза Ни, то в этом случае случайная величина X подчинена распределению Эрланга &-го порядка с

параметром А,л, т. е. условная плотность распределения случай­ ной величины X равна

Тогда безусловную плотность распределения случайной величи­ ны X можно найти по формуле

Следовательно, закон распределения расстояния между само­ летом, не пораженным наводящимися по нему снарядами и бли­ жайшим по направлению полета взрывом, является показатель­ ным с параметром ХЛР0бс-

Очевидно, такие же рассуждения можно провести о законе •распределения случайной величины Y — расстояния между са­

молетом, не пораженным наводящимися по нему снарядами, и ближайшим к нему взрывом в направлении, обратном направле­ нию полета самолета (см. рис. 6.6.11а).

Используя выражения (6.6.22), (6.6.24) и (6.6.28), окончательно получим формулу для определения полной вероятности непоражения самолета системой ПВО с учетом возможности пораже­ ния самолета взрывом снаряда, который наводился на другие самолеты:

Рассмотрим пример определения оптимального интервала. Для простоты будет анализировать систему ПВО с отказами и

269

упорядоченным обслуживанием (см. § 6.1). Для этой системы вероятность Р0бс определяется по формуле

В выражении (6.6.32) нужно подобрать такую величину Х(0), которая бы обращала полную вероятность непоражения самоле­ та Q в максимум:

При решении этой задачи нужно помнить о том, что величина к

ограничена сверху величиной Хв, которая определяется условия­ ми безопасности полета, а снизу — величиной Хн, определяемой временем всего налета. Поэтому нахождение максимума функ­ ции (6.6.33), как правило, нужно проводить численными мето­ дами.

В качестве примера рассмотрим систему ПВО (/г, к, ц, ri);

величина р принята за единицу измерения плотности потоков со­

бытий: р = 1 . Величина т)= — ; радиус поражения i?n=2,5 км; а

протяженность зоны обстрела а = 10 км. В соответствии с форму­

лой (6.6.24) имеем

р,= 2ц = — ,

а

откуда

х

Q(X)= 0,о -4- X е 1 , 5 4 - Х

1,5 + Х

При К— ИЗ, что соответствует случаю налета отдельных само­

летов:

Q(0) = lim Q (X)= J - = 0,333.

270