Документ: Прикладные задачи теории массового обслуживания., страницы 276-280

’на обслуживание: Дисциплина очереди естественная: «кто

раньше пришел, тот раньше обслуживается» *.
Состояния системы		будем связывать	с числом	отказавших
технических устройств:			п) и все		они нахо
хк — отказало	ровно k ТУ (fe= 0, 1,
дятся на обслуживании (ремонтируются, проходят
регламент);					и г ТУ
хп+г — отказало п + r ТУ, из них п обслуживается
ожидает в очереди (г= 1, 2,			т—п).
Граф состояний системы с указанием плотностей потоков, пе
реводящих систему	из	состояния в состояние,		показан на

рис. 7.1.2.

В соответствии с этим графом можно записать систему диф ференциальных уравнений для вероятностей состояний системы:

,1Pl'(/ ) =	— mlpoW + pp^ty,
— —— = —		im — k)+	Pk (0 +
a t
~X(m — k -f-1) Pk—i			PPk-H (0 (^ = 1) 2,..., n — 1).
=	-	\{rn - n) x+ ntf p„(t)
at
	~h	—Л +	Щ^Рпл i (0>
dpn^r(t)		\{ГП—П — r)\ + ny.]pn+r(0+
d t		\{ГП—П — r)\ + ny.]pn+r(0+
—tl— r			ll}±pn+r+\ (r = l, 2,..., m—n)\

^ ^ = - n ^ Pm{t)YKPm_ l{t).

dt

j

Напомним, что в системе уравнений (7.1.1) параметры X и

]*•могут быть любыми неотрицательными функциями времени и

Рассмотрим стационарный режим работы системы при Х = •==eonst, p = const и t —+оо. В этом случае вместо системы диф

ференциальных уравнений (7.1.1) можно получить систему алге браических уравнений, для чего достаточно в системе (7.1.1)

Дисциплина очереди влияет лишь на закон распределения времени ожи дания в очереди, но не влияет на среднее время ожидания в очереди и другие интегральные характеристики системы.

2 7 6

положить все производные равными нулю. Решая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, получим

где

т \

Рк= ы Г ' мr ( - ) % ° =			C^ V °	(fe= °, 1, ... , П), (7.1.2)
/г! (т — k)\	\	/
		а = — .		(7.1.3)
			Iх
(т-к+1)\		[т - к ) \		(m-n+f)\___ ( т - п ) к
			Хк+f	п-1
		(*+/>р		п\к
. (/Л-Я-Г+ОЛ		(Л1-Я-Г)Л		л
*[^г-/[7	* Iхп+г^^		* \|
п р		я р		я р
		Рис. 7.1.2

Выражение Cmhah можно		вычислить				по таблицам биномиаль
ного распределения:				О / гм	/,	г>\
				О / гм	/,	г>\
				В (т,	к,	р)		(7.1.4)
								(7.1.4)
где
	1 + а (О < /> < ! ) ;							(7.1.5)
	q = \ — p\							(7.1.5)
	q = \ — p\
	Я (m,	k,	p) = Cmpkqm~k.
Вероятность	/?П+Г(г=0,		1,	2,		m—n) подсчитывается no
формуле
	Pn+r~~ nrn\ (m — n — r)\						a	P o ~
^ P i n n ) P ( m - n - r			7.)po(r =			0,	1,	2 ,... , m - n ) , (7.1.6)
P (0,	n) P (m, /.)
где				П"
	P(m,			П"
	P(m,		a )= - ~ e - « ;
					ml
		! _		_Jt_				(7.1.7)
								(7.1.7)

Величину po находят из нормировочного условия

277

		2		2	p ,i+r—	(7.1.8)
		Л = 0		r = 1
откуда [см.	(7.1.2), (7.1.4)		и	(7.1.6)]
	Ро~~				1
	Ро~~	R (т, л, /?)		Я (л, п) R (т — п — 1, у)		(7.1.9)
			+		Р (0, л)Я(т, у.)	(7.1.9)
			+		Р (0, л)Я(т, у.)
где
я	к п,	р) = 2	5 к		р) = 2 сктркдт — к	(7.1.10)
		k=0			k=0
			т		т
	Я (я. X )= J ]^ ( .				a) = J ]	(7.1.11)
		л=о			й=0

Таблицы последней функции приведены в приложении. Таким образом, получим окончательные выражения для вероятностей состояний:

Р , =		Р} ft,	(‘ = 0 ,		1, 2....... л);			’
/,.+ .= Р ("’ »>Р<—			<«+■•). 7.) я, (г = 0			1	'	(7.1.12)
^ +		Р(0,п)Р(т,г)			V		'	(7.1.12)
/V			1
/V	/? (т ,	л, р)	Р (я,	п) R (m — п — 1,		у )
	/? (т ,	л, р)	Р (я,	п) R (m — п — 1,		у )
			р	(0,	п) Р (от, у )			j
Найдем среднее число обслуживаемых ТУ к:
		п	т — п		п
	£ =	& / ? * +	/£			j Л в	(/7Z, k , /?) +
		ft = 0	г = 1		ft= 0
			/гррЯ (m, п) R ( m — п — I,				у )	(7.1.13)
				Я ( 0, п ) Р ( т , у)				(7.1.13)
				Я ( 0, п ) Р ( т , у)
Среднее число технических устройств,						ожидающих очереди на
обслуживание, можно найти так:
	г =		р £ (* „ " £ г) \e n - n ,) R ( m - n , X ) -
	г = 0
			—Х ^(« —я — 1,			Х)1-		(7.1.14)

278

Следовательно, среднее число простаивающих (не работающих). ТУ будет

1 = 1 + 7 .

(7.1.15)

Наиболее выпукло характеризует работу такой системы ве роятность | того, что определенное (любое) ТУ в любой момент времени t будет работать. Иногда величину £ называют коэффи циентом использования (или коэффициентом оперативного ис

пользования) техники. Величина £ подсчитывается по формуле

5 = 1 - — .	(7.1.16)
тп

Чем больше коэффициент £, тем более интенсивно работает техника, тем меньше она простаивает.

Зачастую интерес представляет коэффициент простоя техни ки £ (вероятность того, что ТУ будет простаивать):

С = 1 - 5 — .

(7.1.17)

тп

Среднее время простоя ТУ /п можно найти исходя из следую щих соображений. Вероятность того, что ТУ будет работать, можно вычислить на основании эргодического свойства по фор муле

	Л> +
где	среднее время безотказной работы ТУ. Следова-
тельно:
	1 - 5	(7.1.18)
		(7.1.18)
Время простоя ТПслагается из времени ожидания в очереди
Точ и времени обслуживания Тобс-
	7'п = 7'оч4-7'„6с.	(7.1.19)
Воспользуемся	теоремой сложения математических	ожиданий
для отыскания среднего времени ожидания ТУ в очереди:
tn= M [ТП]= .М [7’0Ч]-Ь-М [7’обс]:=^оч“Ь^обс.		(7.1.20)

Среднее время обслуживания ТУ (обе равно 7/р, следовательно [см. (7.1.18)]:

279

Найдем закон распределения времени ожидания в очереди Точ. Случайная величина Точ представляет собой смешанную случайную величину, функция распределения которой F64(t) терпит разрыв в точке t = 0, так как существует определенная ве

роятность того, что это время будет равно нулю:

п— 1
Я (7’„, = 0) = 2 Р»	(7.1.22)
/г=0

Определим условную плотность распределения времени ожи дания в очереди fr(t) при условии, что к моменту отказа данно го ТУ система будет находиться в состоянии хп+Гу т. е. в очереди будет находиться г технических устройств ( O ^ r ^ m —п— 1) и все п каналов будут заняты обслуживанием. В этом случае ус

ловная плотность распределения будет

f r(t)=,n^ (n^ )r- e - '^ (t > 0),	(7.1.23)
т. е. (7.1.23) представляет собой закон Эрланга	r-го порядка

с параметром лр. Это объясняется тем, что очередная заявка бу

дет обслужена лишь после того, как все п каналов		проведут
(г+,1) циклов обслуживания.
Следовательно, безусловная плотность распределения време
ни ожидания в очереди будет иметь вид
п—1	m—п—1
/ оч(0 = 8 ( / ) 5 ] ^ +	£	(7.1.24)
Л=0	*=0

Заметим, что среднее время нахождения в очереди можно найти и по более сложной формуле, чем (7.1.21):

70Ч= ] t f 04(t)dt.

Эту формулу мы используем не для нахождения среднего време ни ожидания в очереди, которое легко вычисляется по формуле (7.1.21), а для отыскания одного специального интеграла, вы числение которого нам потребуется в дальнейшем.

Подставим в последний интеграл выражение для плотности распределения (7.1.24). Имея в виду, что

f /3 (/)<// = о,

280

Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

Смотрите также: