Материал: Прикладные задачи теории массового обслуживания.

получим

tTl—П—1

rv

1 Ч= £

Pn+r^ S ! ^ l l L e-n,t d t

r=0

0

Введем обозначение

гчэ

? (« (x , г) =

^

e~^t‘ dt.

( 7 . 1 . 2

6

L

Р (л, п)р„

т—п—1

^

Р(т — ( г е - т - г ) ,

х ) ® ( л |хг),.

Р (0, п ) Р (т,

у)

г=О

п — Я — 1

я(о, я) я (/я, у) г 1

1-е

(от — (я + г), х) ?(«!«•, Г)

^ j. (7.1.26)

?Го

Р ( п , п ) р {) [ к

?

/ п (О =

f

—

(t. > 0 ) .

Я (т — 1, у)

(7.1.27)

Я (ш, у.) Яо>

так как при /2=1 Р (п, п)=Р (0, /г). Заметим, что при п= 1

Вероятность

того,

что в очереди будет г технических

уст­

ройств, можно найти по формуле

Р (т

(г 4* 1)» у)

/7

<| 0Q\

— ТЪ ГЪ — р‘-

1

*

Вероятность ро найдем

из нормировочного условия

Р (т — /, у) _

Ро

т

У ]/3 (Л

Х)= Ро-р ((т’ У\

= 1,

5 Р°

Р (т,

у)

Р (т, 1...)

и

р ( т ,

у )

/=0

1==00

откуда

Р (т. У.) .

Р о =

Р {т, у)

R (т,

у.)

1. 2. - . .

«О,

(7.1.29)

где pi — вероятность

того, что

в

обслуживании

нуждается /

технических

устройств

( /= 0,

1, 2,

/п),

т. е. / техни­

ческих устройств простаивает.

тХ

Ш-к+ПХ

(т-ЮХ

(т-п*1)\ (т-п)Х

Е Н З -

\ * к - 1

*к

*к+1

*пч

Ц

Н-

И

(ет-л-г+/)Л (т-п-гЖ

Л

ХГЫГ-1

х п +г

к

Рис. 7.1.3

Среднее

число

простаивающих

технических устройств

будет

i = V . i Р (т — /,

у )

/?(/и

2

[/Я —(да -

/)] Р (т -

1, х) =

1=0

/? (т , у)

"

__

'

/=0

1

т J]P(/n —/,

х ) - ^ { т — 1)Р(т-1,

х)

R (т, у)

1= 0

1

т

т

т J ] P( l , х ) - £ / Я

(/, У.)

Л (/и. у)

/ = 0

/ = 0

/? (7/1 — 1, у)

,

/л

V

(7.1.30)

— ш —у —------- ^

=7/г — 7 (1

— /?0).

Л (/и,

у.)

= А = 1 - р 0= 1

=

*>

(7.1.31)

R (т, у)

(т,

у)

/?(т — 1, 7)

1 _ i

т 1 Жт*у)

т

т

Т —Т

1 —

S _

1

m ^

1

Ро)— _х

П 1 —

I

р

5

Ь

У

п

п ч

!*■

! —

Р о

Ро

—

( 1

—Ро)

(7 .1 .3 4 )

m

ния [см. (7.1.21),

(7.1.29),

(7.1.32) и

(7.1.34)]

—

—

—

m— 71 О — А » )

1

1

7

-----------, \

- -

= - - Г - Т -

Н-

<7.1.35>

[X

— /1>0

Iх

1 — Р о

m—1

/л—1

f

(f\

V

^

Г

С-** с —

V

k\

е~*< P ( m ~

k' Х ) _

/ Л

* >

- Ъ

е Рк~

Ъ

R (т ,

у)

ft=0

ft = 0

mт—1:

.

т—1

fcO*

.

^

.

(lt)k

m\

^

v*e

1 VI

/—

jxe-'lte ~ \m УЧ

W)k

7

R (m, 7) m\ U

k\

(m — Л)!

R ( m , y m) LJ

k\

(m — k)\

k=0

Л!

т !

Z j

*=o

Slie

^P (m, у)

m—1

(7.1.36)

R(m,

y)[q(t)]m

£

С* И 0 ] ‘ [? (0 Г ~ ‘,

k=0

p{t) = -

xt

it

(( > 0);

(7.1.37)

l +

q ( t) = \ - p ( t) .

(7.1.38)

т—1

2

=

(7.1.39)

I t

\ п

- ( т

+

Xt

R ( m , y J

[ 1 — P ( t ) \ m

и )

^

i +

, U ,

' = r e -^ p ,, ((1 + U y» -()i)”]. (7.1.40)

т—1

/ о ч ( 0 =

8 ( 0 А ) +

е~'иРь= 8 ( 0 Ро+

k = \

+ у г * р ' - 1« ® Я-

1рЮ]п=

0

[q(t)Г

=

Ро!8(0 + [

( 1

- (W)ml 1•

(7.1.41)

^ 0 R (т, п, р)

Р (n,

п) R ( т — п — !, у) ’

q™

+

Р (0, п) Р (т, у )

где

1

+

а