Материал: Прогрессии

к себе изобретателя и спросил, какую награду он хочет получить. Изобретатель попросил за первую клетку одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью – четыре и далее за каждую следующую клетку вдвое больше, чем за предыдущую. Столь ничтожная просьба разгневала царя. Он прогнал изобретателя и приказал казначею отсчитать затребованное количество зерен. За обедом между прочим царь поинтересовался, выполнен ли его приказ. Казначей ответил, что нет, поскольку награда слишком велика. Царь и слушать не хотел столь нелепых оправданий. Награда должна быть выплачена! Придворные математики трудились всю ночь, и к утру казначей вновь предстал перед царем, чтобы сообщить, что для выплаты вознаграждения не хватит зерен, хранящихся во всех амбарах царя, в житницах всего государства и даже всей Земли. Что это за число? Решение. Поскольку шахматная доска разбита на 64 клетки, за последнюю клетку изобретатель должен получить 263 зерна, а общее количество зерен составит:

446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен.

42

Если считать вес одного зерна равным 0.065 г, доска со

всеми зернами весила бы около 1.2 триллиона тонн. Интересно, что в санскрите (древний индо-арийский язык) были слова для именования чисел до 1053.

На с. 76 мы рассмотрим пример геометрической прогрессии со знаменателем, немного большим 1.

Ответ: 720.

104 Пример 41. Знаменатель геометрической прогрессии =

−2, сумма первых пяти членов 5 = 5.5. Найти пятый член прогрессии.

Решение:

Ответ: 8.

Изменим условия двух задач из первой главы (с. 17).

104 Пример 42. Казачья сотня отличилась в бою, и атаман

решил наградить одного рядового, одного приказного, одного урядника, вахмистра, одного подхорунжия, одного хо-

рунжия и сотенного есаула. Рядовому казаку был выдан 1 руб. и далее каждому следующему чину в два раза больше предыдущего. Какова общая сумма вознаграждения?

Решение. Всего перечислено 7 чинов. Вознаграждение ря-

дового казака 1 = 1, далее от чина к чину вознаграждение

1 − 27

удваивается, т. е. = 2. Таким образом, 7 = 1 − 2 = 127.

Ответ: 127 руб.

Пример 43. Какова общая сумма вознаграждения, если 104

атаман наградит всю сотню казаков и выдаст рядовым по 1 руб., приказным по 2 руб., урядникам по 4 руб., вахмистру 8 руб., подхорунжиям по 16 руб., хорунжиям по 32 руб. и сотенному есаулу 64 руб.? Пусть в сотне 90 рядовых казаков, 20 приказных, 12 урядников, 1 вахмистр, 3 подхорунжия, 2 хорунжия и 1 сотенный есаул.

Решение. Награды по возрастанию чинов образуют геометрическую прогрессию { } = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}. Каж-

дый чин представлен группой казаков. Вес -й группы, как

и в аналогичной задаче из первой главы, обозначим . Тогда веса групп в порядке возрастания чинов образуют последовательность { } = {90, 20, 12, 1, 3, 2, 1}. Взвешенная сумма членов прогрессии:

= 90 · 1 + 20 · 2 + 12 · 4 + 1 · 8 + 3 · 16 + 2 · 32 + 1 · 64 = 362.

2 − 13 − 14 = 0 1 = −1 и 2 = 14.

Вобласть допустимых значений входит только = 14.

Ответ: при = 14.

105 Пример 45. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего 128, а сумма всех членов 126. Найти количество членов прогрессии.

Решение:

По теореме Виета 1 и являются корнями квадратного трехчлена 2 − 66 + 128. Его корни 1 = 2 и 2 = 64. Поскольку по условию задачи прогрессия возрастающая, рассмотрим только случай, когда 1 = 2, = 64.

1 + = 66 1(1 + −1) = 66 −1 = 32 = 32 .

−1 = 32 2 −1 = 32 = 6.

Ответ: 6.

Пример 46. Какие 3 числа надо поставить между 1 и 256, 105 чтобы все 5 чисел составили геометрическую прогрессию?

Решение:

1 = 1;

5 = 256 4 = 256 = ±4.

1)= −4 {1, −4, 16, −64, 256};

2)= 4 {1, 4, 16, 64, 256}.

Ответ: −4, 16, −64 или 4, 16, 64.

Теперь рассмотрим задачу из экономической теории.

Пример 47. Пусть в распоряжении коммерческого банка 105

имеется 1 млн руб. Вопрос: на какую сумму банк может выдать кредиты за короткий срок? Под «коротким сроком» мы понимаем время, за которое ни один из клиентов не успеет вернуть долг. Для простоты допустим, что в нашем городе работает только один коммерческий банк.

Решение. Разумеется, вначале банк выдаст кредиты на 1 млн руб. Зададимся вопросом: зачем человек берет деньги в долг? Конечно, только для того, чтобы тут же с ними расстаться. Деньги в долг на хранение не берут. В таком случае