Материал: Прогрессии

как в противном случае инвестирование было бы лишено

смысла. lim ( ) = 0 < 0. Функция ( ) является сум-

→+∞

мой непрерывных на интервале [0; +∞) функций и, значит,

непрерывна. Таким образом, в области определения существует единственное решение уравнения ( ) = 0. Задачу также можно свести к решению уравнения

∑ = 0, где = 1 +1 (0; 1].

=0

В общем случае подобное уравнение мы будем решать численно, т. е. будем искать приближенное значение * с точ-

ностью до нужного количество знаков после точки. Теперь сформулируем условия задачи на с. 84 в терминах инвестиционного процесса.

Пример 89. Гоша инвестировал 200 тыс. руб. в процесс, 114

который даст 30 тыс. руб. дохода через 1 год, 70 тыс. – через 2 года, 100 тыс. – через 3 года, 30 тыс. – через 4 года и 40 тыс. руб. – через 5 лет. Найти современную стоимость, период окупаемости и внутреннюю доходность инвестиционного процесса.

92

Решение. Поток можно представить в виде

{ } = {−200, 30, 70, 100, 30, 40};

{ } = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Последовательность современных стоимостей

{ } = {−200.000, −172.477, −113.559,

− 36.341, −15.088, 10.909}, где = 1, 2, . . . .

Таким образом, положительное значение появляется толь- ко через 5 лет. Это и есть период окупаемости. Современная стоимость потока совпадает с последним членом последовательности { }, т. е. с 5 = 10.909 тыс. руб. Внутреннюю доходность можно получить только численно как решение* уравнения ( ) = 0. В соответствии с формулой (22),

График функции ( ) для данного примера изображен на рис. 9 (с. 90). Значение * с точностью до 4 значащих цифр равно 0.1109 = 11.09 %.

Ответ: cовременная стоимость инвестиционного процесса5 = 10.909 тыс. руб., период окупаемости = 5 лет, внутренняя доходность * = 11.09 %.

В совокупности характеристики потока дают следующую картину: Гоша надолго теряет возможность пользоваться своими денежными активами и берет на себя риск. Решение зависит от ставок, предлагаемых банками.

А сейчас займемся реструктуризацией долга.

Пример 90. Леша должен заплатить 100 тыс. руб. 114

в настоящее время и 500 тыс. руб. через 4 года. Но Леша хотел бы реструктурировать долг: выплатить его разом через 2 года (рис. 10). О какой сумме платежа через 2 года имеет смысл договариваться, если обе стороны считают справедливой процентную ставку = 11 % годовых?

Решение. В соответствии с условием задачи, 100 тыс. руб.

Рис. 10. Схема реструктуризации долга

следует нарастить на 2 года, а 500 тыс. дисконтировать на 2 года. (1 + ) = 1.11. Тогда сумма платежа через 2 года должна составить

Ответ: поток платежей эквивалентен одному платежу на

94

сумму 529 021 руб. через 2 года.

114 Пример 91. Гоша положил 10 тыс. руб. на счет в сбербанке. В соответствии с договором ежемесячно в установленный день на текущую сумму счета начисляются проценты. Одновременно в этот же день на счет зачисляется дополнительно 10 тыс. руб. из Гошиной заработной платы. Какая сумма

будет на счету через 2 года, если процентная ставка = 8 %?

Решение. В течение первого месяца на счету находилась сумма 1 = 10 тыс. руб. Начиная со второго месяца сумма

изменяется по формуле = −1 + , где = 1+12, = 10 и= 0.08. Таким образом, она растет по закону арифметико-

геометрической прогрессии. Сумму через два года можно найти непосредственно через рекуррентные отношения для= 2, 3, . . . , 24, но мы поступим проще, применив первую из

Ответ: 259 332 руб.

Задачи

83 116

5.Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная приведенной ниже формулой?

(b) = 2 + 2 + 1.