Материал: Прогрессии
106
67. Найти сумму первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех ее
O120 членов равна 1 024, а сумма первых десяти 1 023.
68.Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов 192. Най-
O120 ти первый член и знаменатель.
69.Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а каждый
следующий, начиная со второго, в 136 раза меньше сум- O120 мы предыдущего и последующего.
70.Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1.6, а второй
O120 член (−0.5).
71. Найти наименьшее число членов геометрической прогрессии {8, 7, 498 . . .}, такое, чтобы их сумма отличалась
O120 от суммы всей прогрессии менее чем на 0.01.
72.Могут ли следующие числа быть членами (не обязательно последовательными) геометрической прогрессии:
|
(a) |
2 |
, |
2 |
, |
2 |
|
O120 |
|
3 |
27 |
2187 ; |
|||
|
|
|
|
||||
√
(b)2, 3, 8;
(c)6, 48, 192?
ЗАДАЧИ |
107 |
|
|
73.Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1, а сумма кубов ее членов 27. Найти
сумму членов прогрессии. |
O120 |
74.При каких значениях параметра корни уравнений2 − 5 + 4 и 2 = , взятые в определенном порядке,
образуют геометрическую прогрессию? |
O120 |
75.Доказать, что при любом значении параметра корни уравнения 3 − 7 2 + 14 2 − 8 3 = 0 образуют
геометрическую прогрессию. |
O121 |
76.Найти все четырехзначные натуральные числа, цифры которых образуют нестационарную геометрическую про-
грессию. |
|
O121 |
77. Первый член геометрической прогрессии равен |
3, |
|
а знаменатель 2. Найти произведение первых шести |
||
членов прогрессии. |
|
|
|
O121 |
|
78.Образуют ли числа арифметико-геометрическую прогрессию? Если да, указать ее разность и знаменатель.
(a) 3, 11, 27, 59, 123, . . . ; |
|
O121 |
(b)−2, 2, 7, 19, 43, . . . ;
(c)−2, 1, 7, 19, 44, . . . ;
108
(d)−2, 10, −26, 82, −242, . . . .
79.Найти четвертый член арифметико-геометрической про-
грессии, первый член которой 1 = 5, разность O121 = −2 и знаменатель = −3.
80.Найти сумму первых шести членов прогрессии, пер- O121 вый член которой 1 = 3, = 3 и = 2.
81.Дан остроугольный треугольник 1 1 1, вписаный
в некоторую окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках 1, 1, 1, образуют треуголь-
ник 2, 2, 2. Если около треугольника 2, 2, 2 опи-
|
сать окружность, касательные к ней, проведенные |
|||||||||
|
в точках 2, 2, 2, образуют треугольник 3, 3, 3 |
|||||||||
|
и т. д. При этом считаем, что принадлежит отрез- |
|||||||||
|
ку +1 +1, |
– отрезку +1 +1 |
и – отрезку |
|||||||
|
+1 +1. Найти |
lim |
̸ |
, |
lim |
̸ |
и |
lim |
̸ |
. |
O121 |
||||||||||
|
|
→∞ |
→∞ |
→∞ |
||||||
82.Углы восьмиугольника образуют арифметикогеометрическую прогрессию со знаменателем = 2.
|
Найти все углы восьмиугольника, если наибольший |
O121 |
угол равен 170 . |
83.Определить время сделки по схемам 365/365, 365/360
и 360/360, если кредит выдан:
O121 |
(a) 12 марта 2016 г. до 1 сентября 2016 г.; |
ЗАДАЧИ |
109 |
|
|
(b)3 февраля 2016 г. до 5 мая 2016 г.;
(c)25 декабря 2015 г. до 14 августа 2016 г.
84.Какую сумму получит кредитор в конце сделки, если время считать по схемам 365/365, 365/360 и 360/360,
авыдано под 22 % годовых 100 тыс. руб. на время:
(a) с 12 марта 2016 г. до 1 сентября 2016 г.; |
O121 |
(b)с 3 февраля 2016 г. до 5 мая 2016 г.;
(c)с 25 декабря 2015 г. до 14 августа 2016 г.?
85.20 декабря 2016 г. Леша получит 300 тыс. руб. На какую сумму он может взять 5 мая 2016 г. кредит под 20 % годовых, чтобы 20 декабря 2016 г. полностью по-
гасить долг (время считать по схеме 360/360)? |
O121 |
86.Найти эквивалентную учетную ставку, если процентная ставка:
(a) = 17 % и время сделки = 0.2; |
O121 |
(b)= 16 % и время сделки = 0.8;
(c)= 18 % и время сделки = 0.4.
87.Найти эквивалентную процентную ставку, если учетная ставка:
110
(a) = 13 % и время сделки = 0.9; |
O122 |
(b)= 12 % и время сделки = 0.2;
(c)= 16 % и время сделки = 0.5.
88.Леше не хватило 500 000 руб. для покупки оборудования, и продавец Гоша согласился принять от него вексель по учетной ставке 16 % годовых. Леша обязался заплатить предъявителю данного векселя некоторую сумму 12 декабря 2016 г. Какая сумма должна быть проставлена на векселе, если вексель выписан 15 февраля 2016 г.? 10 июля 2016 г. Гоше понадобились деньги, и один коммерческий банк согласился учесть вексель по учетной ставке 15 % годовых. Какую сумму
O122 получит на руки Гоша?
89. За какое время сумма денег, ссуженная под 25 простых
O122 годовых процентов, увеличится на 50 %?
90.Сумму положили на счет в банке под процентов годовых. Какая сумма будет на счету через лет?
O122 |
(a) = 30 000 руб., = 15 % и = 3; |
|
(b) = 100 000 руб., = 10 % и = 5; |
(c) = 10 000 руб., = 20 % и = 7.