Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

2. Если ранг матрицы системы меньше количества неизвестных, т.е.

то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае хотя бы один из миноров матрицы A порядка r не равен нулю. Этот минор называют базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами базисного минора, называют базисными неизвестными (переменными). Остальные (n −r ) неизвестных называют свободными, им можно прида-

вать произвольные значения независимо друг от друга. Каждому набору значений свободных неизвестных соответствует одно решение системы.

3. Если система однородна, то она всегда совместна, в частности имеет нулевое решение x1 = 0, …, xn = 0 . Ненулевые решения однородная система

имеет, если r (A)< n .

4. Если система (2.12) имеет одинаковое количество неизвестных и уравнений, т.е. m = n , то при выполнении условия (2.14), вопрос о единственности решения сводится к выполнению неравенства

Иными словами, если выполнено условие (2.17), то система (2.12) (при m = n ) имеет единственное решение. В частности, если (2.12) – однородная система, то выполнение условия (2.17) говорит об отсутствии ненулевых решений; наоборот, если det A = 0 , то у однородной системы есть ненулевые решения.

Решение системы линейных уравнений

Определение 2.19. Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если любое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.

Определение 2.20. Преобразование системы уравнений в систему уравнений, эквивалентную исходной, называют эквивалентным преобразованием системы.

Кэквивалентным преобразованиям системы относят:

●умножение левой и правой части какого-нибудь уравнения на коэффициент, не равный нулю;

●перемену местами уравнений системы;

●изъятие из системы одного из двух одинаковых уравнений;

●замену одного из уравнений на сумму этого уравнения и какого-нибудь другого уравнения системы, умноженное на любое число.

36

Метод Гаусса

Метод решения системы линейных уравнений, основанный на эквивалентных преобразованиях системы, – это метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, знакомый всем из школьного курса математики. В процессе применения этого метода получаем ответ на вопрос о совместности системы и, в случае совместности, на вопрос о количестве решений, а также сами решения.

Матричный метод решения системы

Система линейных уравнений (2.12) может быть записана в виде матричного уравнения

т.е. (2.19) – это формула решения уравнения (2.18). Но, зная решение уравнения (2.18), мы одновременно знаем единственное решение системы (2.12). Метод решения системы (2.12) с помощью формулы (2.19) называют матричным методом решения системы n линейных уравнений с n неизвестными (det A ≠ 0 ).

Метод Крамера

Если применима формула (2.19), т.е. матрица системы (2.12) квадратная размера n ×n и невырожденная, то для значений неизвестных в решении системы справедливы формулы

37

она имеет бесчисленное множество ненулевых решений, каждое из которых – это координаты собственного вектора, соответствующего собственному значе-

нию λ .

2.1.5. Квадратичные формы

Здесь aij - коэффициенты квадратичной формы и aij = a ji . Если в квадра-

тичной форме привести подобные члены, то коэффициенты при произведениях различных переменных xi и xj примут вид 2aij .

Определение 2.23. Матрица A =(aij )i=1,n называется матрицей квадра-

j=1,n

тичной формы.

Матрица A является симметричной, т.е. AT = A ( aij = a ji ).

Определение 2.24. Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной, если для любого набора значений переменных x1,…, xn , где хотя бы одно из значений не равно нулю, квадратичная форма

принимает положительное (отрицательное) значение. Иными словами, если

x12 +…+ xn2 ≠ 0 , то

39

Замечание 2.1. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Определение 2.25. Главный минор квадратной матрицы A порядка k - это ее минор, стоящий на пересечении первых k строк и первых k столбцов.

Замечание 2.2 (Критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны.

2.2.Тестовые задания и их решения

2.2.1.Вычисление определителей

Тестовое задание 2.1

Решение. В этом задании нужно воспользоваться формулой (2.3) и сравнить значения вычисленных определителей с предлагаемыми ответами:

40