Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тестовое задание 3.29

Укажите правильное соответствие между характером расположения прямой L : Ax + By +C = 0 на декартовой плос-

кости и значениями коэффициентов А,

В, С.

1.L параллельна оси Ox

2.L параллельна оси Oy

3.L пересекает оси Ox , Oy и не про-

ходит через точку O(0; 0)

υ2 υ2	A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0
υ2 υ2	A = 0, B = 0, C = 0
υ222	A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0
υ
υ212	A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0
υ
υ232	A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0
υ

Решение. Ранее, получив общее уравнение прямой (3.9), исследовалось расположение прямой в системе координат при равенстве нулю некоторых коэффициентов уравнения. Поэтому делаем вывод, что прямая 1 соответствует четвертому ответу; прямая 2 соответствует третьему ответу; прямая 3 соответствует пятому ответу.

	Тестовое задание 3.30
Вектор			s =(p; −3) параллелен пря-				2
Вектор			s =(p; −3) параллелен пря-
		x −5			y +10
мой		x −5		=	y +10	. Тогда значение p	−2
мой		2		=	−3	. Тогда значение p	−4,5
		2			−3		−4,5
равно…							−6

Решение. Данное уравнение имеет вид (3.12), т.е. является каноническим. В этом уравнении вектор {m; n} ={2; −3} является направляющим вектором, т.е.

вектором, параллельным прямой. Если данный вектор s =(p; −3) параллелен прямой, то он коллинеарен вектору {2; −3}, а значит, координаты этих векторов пропорциональны:

2p = −−33 ,

откуда p = 2 , что соответствует первому ответу.

В тестовых заданиях 3.31 – 3.33 используются условия параллельности прямых.

111

	Тестовое задание 3.31
Среди прямых			l1	и l3

l1	: x +5y +10 = 0 ,
			l4	и l3
l2	: 2x +10 y −5 = 0	,
			l2	и l3
l3	: 2x −10 y −10 = 0 ,
			l1	и l2
l4 : −2x +10 y −10 = 0

параллельными являются …

Решение. В этом задании даны общие уравнения (3.9) прямых. Условие параллельности прямых – пропорциональность коэффициентов при одинаковых переменных в их общих уравнениях. У прямых l1 и l2


			1		=	5	,
			2		=	10	,
			2			10
значит, l1	l2	– соответствует четвертому ответу.
У прямых l3 и l4			2			−10
			2		=	−10		,
значит, l3	l4			−2	=	10		,
				−2		10
		– соответствует второму ответу.
Первый и третий ответ неверны, так как
		1 ≠	5		и	2	≠		10	.
		1 ≠	−10		и	2	≠			.
		2	−10			2			−10

Тестовое задание 3.32

Прямая на плоскости задана уравнением y = 2x +3. Параллельной ей яв-

ляется прямая с уравнением…

4x −2 y +7 = 0 y −2x +9 = 0 4x + 2 y −5 = 0 y + 2x −3 = 0

Решение. Приведем уравнение данной прямой к общему: 2x − y +3 = 0 .

Воспользуемся условием (3.15′). Сравним данное уравнение с уравнением первого ответа:

24 = −−21 ,

значит, первый ответ верный.

112

Для прямой во втором ответе

−22 = −11 .

Следовательно, второй ответ верный. Для третьего и четвертого ответа

24 ≠ −21 и 22 ≠ −11 ,

поэтому эти ответы неверны.

Тестовое задание 3.33
Прямая, проходящая через две точки	−		x	+ y =1
Прямая, проходящая через две точки			x
M0 (1; 3), M1 (4; 2), параллельна пря-
M0 (1; 3), M1 (4; 2), параллельна пря-			3
мым…		x	− y =1
	3		− y =1
	3
		x	+ y =1
	3		+ y =1
	3		x
	−		x	− y =1
	−		3	− y =1
			3

Решение. Воспользуемся условием параллельности прямых – равенством угловых коэффициентов. У прямой, проходящей через точки M0 и M1 ,

k = 24 −−13 = −13 .

Сравним угловые коэффициенты прямых, предлагаемых в ответах, с чис-

лом −13 , приводя их уравнения к виду (3.6). В первом ответе y = 3x +1, k = 13 ≠ −13 , значит, ответ неверен. Во втором ответе y = 3x −1, k = 13 ≠ −13 , т.е.

ответ неверный. В третьем ответе y = − 3x +1, k = −13 – третий ответ верный. В

четвертом ответе y = − 3x −1, k = −13 – четвертый ответ верен.

113

Тестовое задание 3.34
Уравнение прямой, перпендикулярной		x +5y −13 = 0
Уравнение прямой, перпендикулярной
прямой y = 6x −5 , является…
прямой y = 6x −5 , является…		5x − y +1 = 0
		5x − y +1 = 0
		6x − y −2 = 0
		x +6 y −7 = 0

Решение. В предлагаемых ответах даны общие уравнения прямых, а данное уравнение представлено в виде (3.6). Поэтому приведем уравнения в ответах к виду (3.6) и воспользуемся условием перпендикулярности прямых (3.16). Угловой коэффициент данной прямой равен k0 = 6 . Следовательно, у прямой,

перпендикулярной данной, должен быть угловой коэффициент k = −				1	= −	1 .
				k0	= −	1 .
Сравним угловые коэффициенты прямых из ответов с k = −1 .				k0		6
Сравним угловые коэффициенты прямых из ответов с k = −1 .
	x		6
В первом ответе y = −	x	+13 , т.е. k	= −1 . Ответ неверен. Во втором ответе
В первом ответе y = −		+13 , т.е. k	= −1 . Ответ неверен. Во втором ответе
5		5	5

y = 5x +1, т.е. k = 5 . Ответ неверен. В третьем ответе y = 6x − 2 , т.е. k = 6 . Ответ неверен. В четвертом ответе y = − 6x + 76 , т.е. k = −16 , т.е. четвертая прямая пер-

пендикулярна данной.

Тестовое задание 3.35
Вектор		=(p; 5) перпендикулярен
Вектор	N	=(p; 5) перпендикулярен	10
прямой	2x − y −1 = 0 . Тогда значение		10
прямой	2x − y −1 = 0 . Тогда значение		−10
p равно…			−2,5
			2,5

Решение. Данное уравнение вида (3.9), поэтому вектор {2; −1} является

нормальным вектором прямой, т.е. перпендикулярен прямой. Так как данный вектор N =(p; 5) тоже перпендикулярен прямой, то векторы {p;5} и {2; −1}

коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны:

2p = −51 .

Следовательно, p = −10 , что соответствует второму ответу.

114

Тестовое задание 3.36

Даны вершины треугольника

2; 1),

x + y + 2 = 0

Q(−1; −1),

R(3; 2). Тогда

уравнение

4x +3y −11 = 0

высоты PH имеет вид…

2x +3y −13 = 0

3x + 2 y −13 = 0

Решение.

Высота

перпендикулярна стороне QR , значит, вектор

(

)

(

))

(

)

= QR =

3 −

−1 ; 2 −

−1

4;3

является нормальным вектором высоты, по-

этому коэффициенты при неизвестных в общем уравнении высоты пропорцио-


нальны координатам вектора			= (4;3)					(все нормальные векторы данной пря-
		N
мой коллинеарны). Для прямых в первом, третьем и четвертом ответах
	1	≠		1	,	2	≠		3	,	3	≠	2	,
4						4					4		3
		3						3

поэтому эти ответы не подходят. Во втором ответе 44 = 33 . Остается проверить,

лежит ли точка P на предполагаемой прямой. Подставим координаты точки P(2; 1) во второе уравнение:

4 2 +3 1 −11 = 0 ,

т.е. второй ответ верен.

				3.2.3. Полярная система координат
		Тестовое задание 3.37
Точка М с декартовыми координатами					r =	2, ϕ =	π
Точка М с декартовыми координатами
	3		1
		,		имеет полярные координа-			4
	2	,	2	имеет полярные координа-			4
	2		2		r =	2, ϕ =	π
ты…					r =	2, ϕ =	6
ты…							6

r = 2, ϕ = π4 r =1, ϕ = π6

Решение. Чтобы найти полярные координаты точки М, воспользуемся формулами (3.4), связывающими полярные и декартовы координаты точки:

115

Источник: https://studfile.net/preview/16563650/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога