Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
r = |
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
1 2 |
|
|
x |
|
3 |
|
|
y |
|
1 |
|
||
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
=1 |
, |
cosϕ = |
|
= |
|
, |
sinϕ = |
|
= |
|
, |
|||
|
|
2 |
2 |
r |
2 |
r |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда ϕ = π6 , что соответствует четвертому ответу.
Тестовое задание 3.38
Уравнение окружности, изображенной |
|
r =3cosϕ |
на рисунке, |
|
|
|
r =9 |
|
|
|
|
|
|
r =9sinϕ |
|
|
r =3 |
|
|
|
в полярной системе координат имеет вид…
Решение. На рисунке изображена окружность с центром в начале координат и с радиусом R = 3. Ее уравнение в системе xOy (см. формулу (3.19))
имеет вид x2 + y2 = 9 . Воспользуемся формулами (3.4), выражающими декартовы координаты точки (x; y) через полярные (r;ϕ) и подставим x и y в урав-
нение окружности:
(r cosϕ)2 +(r sinϕ)2 = 9 r2 (cos2 ϕ +sin2 ϕ)= 9 r2 = 9 r = 3.
Уравнение r = 3 – это уравнение данной окружности в полярной системе координат – соответствует четвертому ответу.
Тестовое задание 3.39 |
|
|
|
Уравнение r cosϕ =3 в декартовых |
|
x =3 |
|
|
|
||
координатах имеет вид… |
|
|
|
|
x + y |
=3 |
|
|
|
||
|
|
x2 + y2 =3 |
|
|
|
y =3 |
|
Решение. Так как по формулам (3.4) r cosϕ = x , то данное уравнение |
|||
r cosϕ =3 в декартовой системе координат имеет вид x =3 – соответствует первому ответу.
116
Тестовое задание 3.40
Уравнение x2 + y2 −4by = 0 в поляр- |
|
r = 4bcosϕ |
ных координатах имеет вид… |
|
|
|
r = 4bsinϕ |
|
|
|
|
|
|
r =bsin 2ϕ |
|
|
r =b2 sinϕ |
Решение. Так же, как и в тестовом задании 3.38, подставим x и y (формулы (3.4)) в данное уравнение. Получим
(r cosϕ)2 +(r sinϕ)2 − 4br sinϕ = 0 r2 (cos2 ϕ +sin2 ϕ)− 4br sinϕ = 0r2 − 4br sinϕ = 0 r (r − 4bsinϕ)= 0,
т.е. r = 0 или r = 4bsinϕ. Уравнение r = 4bsinϕ обобщает оба равенства ( r = 0 при ϕ = 0 ), поэтому правильный ответ второй.
Тестовое задание 3.41
На плоскости введена полярная систе- |
|
окружность радиуса 5 с центром в |
ма координат(r ; ϕ). Уравнение ϕ = 25 |
|
|
|
полюсе |
|
|
||
|
||
задает на этой плоскости… |
|
прямую линию |
|
|
окружность радиуса 25 с центром в |
|
|
полюсе |
|
|
|
|
|
|
|
|
луч |
|
|
|
Решение. Данному уравнению соответствуют точки плоскости, у которых полярный угол одинаковый (ϕ = C = const ). Такие точки лежат на луче, выходящем из полюса, составляющем с полярной осью угол C . Поэтому правильный ответ четвертый.
Тестовое задание 3.42
На плоскости введена полярная система координат(r ; ϕ). Уравнение
r2 =81 задает на этой плоскости…
окружность радиуса 9 с центром в полюсе
прямую линию
окружность радиуса 81 с центром в полюсе 
луч
Решение. Из заданного уравнения линии видно, что у всех точек линии полярный радиус r = 9 , т.е. эти точки расположены на расстоянии девять еди-
117
ниц от полюса, а значит, составляют окружность радиуса R = 9 с центром в полюсе. Таким образом, правильный ответ первый.
Тестовое задание 3.43
Полярный радиус точки А, изобра- 
5
женной на рисунке,
7
25 7
равен…
Решение. Видно, что декартовы координаты точки A – x = 3 и y = −4.
По формулам (3.4) r = 32 +(−4)2 = 5 . Следовательно, правильный ответ первый.
Тестовое задание 3.44
На плоскости введены прямоугольная |
|
rM = yM |
|
|
|
|||||
и полярная системы координат, |
при- |
|
|
|
|
|||||
ϕM = yM |
|
|
|
|||||||
чем положительная полуось абсцисс |
|
|
|
|||||||
|
rM = − yM |
|
|
|||||||
совпадает |
с |
полярной |
осью. Пусть |
|
|
|
||||
(xM ; yM ) |
– |
декартовы, |
а (rM ; ϕM ) – |
|
ϕM =xM |
+ |
π |
+ 2πk при некотором |
||
полярные координаты точки М, лежа- |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
щей на положительной части оси ор- |
|
целом значении k |
||||||||
динат. Правильными утверждениями |
|
|
|
|
|
|
||||
являются… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По условию точка M лежит на положительной полуоси орди- |
||||||||||
нат. Очевидно, ее абсцисса xM = 0 , |
а ордината |
yM > 0 , и все точки данной по- |
||||||||
луоси имеют полярный угол ϕ =π |
или ϕ = |
π |
+ 2πk |
(при k = 0; ±1; ± 2;…) и |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
полярные радиусы, равные ординатам этих точек. Поэтому правильные ответы
– первый и четвертый (ϕM =π2 + 2πk = 0 + π2 + 2πk = xM + π2 + 2πk , т.к. xM = 0 ).
118
Тестовое задание 3.45
Симметричными относительно полюса О в полярной системе координат на плоскости являются точки…
P1 (1; 0), P2 (1; π )
P1 2; − 35π , P2 2; − 25π
P1 4; − π2 , P2 4; π2
P1 3; 23π , P2 3; π3
Решение. У симметричных относительно полюса точек одинаковые полярные радиусы, а полярные углы отличаются на π (с точностью до целого числа оборотов). Поэтому верные ответы первый и третий: в первом ответе
r = r |
=1, |
ϕ = 0 , ϕ |
2 |
=π , т.е. |
ϕ |
2 |
−ϕ =π ; в третьем ответе r |
= r |
|
= 4 , |
|
ϕ = −π |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ2 |
= |
|
, т.е. ϕ2 −ϕ1 |
|
= |
|
|
− |
=π . Второй ответ не подходит, |
так как в нем |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
− |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ = − |
3π |
, ϕ |
|
= − |
2π |
|
|
|
и ϕ |
|
−ϕ |
= − |
2π |
− |
|
− |
3π |
|
= π |
≠π + 2πk (k Z ). Четвертый |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
= π |
|
|
|||||||||
ответ |
|
тоже |
|
не |
|
|
|
подходит, |
|
|
так |
|
как |
|
в |
нем |
ϕ = |
|
, |
ϕ |
|
|
и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
2π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ2 −ϕ1 |
− |
= − |
|
≠π + 2πk |
|
(k Z ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тестовое задание 3.46
Полюс полярной системы координат 
совмещен с началом декартовой сис- 
темы координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Тогда точка (3; y), заданная в
декартовой системе координат, имеет полярный радиус ρ =5 при у, равном…
±2
2
±4
8
Решение. У данной точки |
(3; y) по формуле (3.4) полярный |
радиус |
r = 32 + y2 . Если по условию r |
= 5, то получим уравнение 9 + y2 |
= 5 , т.е. |
y2 =16 или y = ±4 – верный третий ответ.
119
3.2.4. Кривые второго порядка
Тестовое задание 3.47
Расстояние между фокусами эллипса 12
x2 + y2 =1 равно …
100 64
Решение. У данного эллипса a2 =100 , b2 = 64 (см. формулу (3.20)), по-
этому c = a2 −b2 = |
100 −64 = 6 – это половина фокусного расстояния, т.е. |
|
расстояние между фокусами равно 2c =12 . |
|
|
Ответ: 12. |
|
|
Тестовое задание 3.48 |
|
|
Среди уравнений |
кривых укажите |
(x + 2)2 −(y −1)2 =16 |
уравнения гиперболы. |
|
|
x + y2 =9
x2 − y2 =1 25 16
3x2 + y2 = 25
Решение. Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы (3.22) – оно соответствует третьему ответу, а уравнение гиперболы с центром в точке (x0 ; y0 ) и осями симметрии, параллельными координатным осям, соответствует
первому уравнению, так как его можно переписать в виде (x 16+ 2)2 − (y16−1)2 =1,
разделив обе его части на 16.
Тестовое задание 3.49 |
|
|
Если уравнение окружности имеет вид |
|
C (−3; −5), R = 6 |
|
||
(x −3)2 +(y −5)2 =36 , то его центром |
|
C (3; 5), R = 6 |
C и радиусом r являются … |
|
|
|
C (3; 5), R = 36 |
|
|
|
|
|
|
C (−3; −5), R = 36 |
|
|
|
Решение. Сравнив данное уравнение окружности с формулой (3.18), видим, что x0 = 3, y0 = 5, R2 = 36 , т.е. центр окружности C (3; 5), а радиус R = 6 ,
что соответствует второму ответу.
120