Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
= a |
|
a22 |
a23 |
−a |
|
a21 |
a23 |
+ a |
|
a21 |
a22 |
= |
11 |
|
a |
a |
12 |
|
a |
a |
13 |
|
a |
a |
|
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
33 |
|
|
31 |
32 |
|
= a11a22a33 −a11a23a32 −a12a33a21 + a12a31a23 + a13a21a32 −a13a22a31.
Определители 2 – го и 3 – го порядка обладают одинаковыми свойствами, справедливыми для определителей любого порядка n ≥ 2 .
Определение 2.5. Если в матрице A соответственно поменять местами строки и столбцы, то эту операцию называют транспонированием матрицы A ,
а полученную матрицу AT называют транспонированной по отношению к A .
Свойства определителей
1.При транспонировании матрицы A ее определитель не меняется, т.е.
A = AT .
2.Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак.
3.Если в определителе элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.
4.Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5.Если в определителе элементы i - й строки (столбца) являются суммой двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного только i - й строкой (столбцом): у одного в i - й строке (столбце) стоят первые слагаемые, а у другого – вторые слагаемые i - й строки (столбца) исходного определителя.
6.Если в определителе к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число k , то определитель не изменится.
7.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
8.Если в определителе все элементы, стоящие под (над) главной диагональю, равны нулю, то определитель равен произведению диагональных элементов.
2.1.2. Матрицы
Определение 2.6. Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m ×n .
31
Обозначение матрицы и ее элементов такое же, как и для квадратной матрицы. Если m ≠ n , то матрица называется прямоугольной. Если A имеет размер
m ×n , то транспонированная матрица AT имеет размер n ×m . Если элементы матрицы A (размера m ×n ) обозначены aij (i =1,…, m; j =1,…, n ), то матрицу A будем описывать так:
A =(aij )i=1,…,m . j=1,…,n
Действия над матрицами
Определение 2.7. Суммой матриц A |
и B , где |
A =(aij )i=1,…,m и |
|
|
j=1,…,n |
B =(bij )i=1,…,m , называется матрица C , обозначаемая C = A + B , где |
||
j=1,…,n |
|
|
C =(cij )i=1,…,m и cij = aij |
+bij . |
(2.6) |
j=1,…,n |
|
|
Для суммы матриц справедливы свойства:
1. |
A + B = B + A . |
|
|
|
2. |
(A + B)+C = A + |
(B +C ). |
|
|
3. |
A +O = A, где O =(oij )i=1,…,m – нулевая матрица (oij |
= 0). |
||
|
|
j=1,…,n |
|
|
Определение 2.8. |
Произведением |
матрицы A |
на число k , где |
|
A =(aij )i=1,…,m , называется матрица B , обозначаемая B = kA , где |
||||
|
j=1,…,n |
B =(bij )i=1,…,m и |
|
|
|
|
bij = kaij . |
(2.7) |
|
|
|
j=1,…,n |
|
|
Справедливы свойства:
1.k (A + B)= kA + kB .
2.(k1 + k2 )A = k1 A + k2 A .
3.1 A = A .
4.0 A =O .
5.k O =O .
6.(k1 k2 )A = k1 (k2 A).
Определение 2.9. |
Произведением матрицы A =(aij )i=1,m |
на матрицу |
||
B =(bij )i=1,k |
называется матрица C =(cij )i=1,m |
j=1,k |
||
, обозначаемая C = A B , где |
||||
j=1,n |
j=1,n |
|||
32
cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j +…+ aik bkj . |
(2.8) |
Справедливы свойства:
1.(A B)C = A(B C ).
2.(k A)B = k (AB).
3.A(B +C )= AB + AC .
4.A O =O .
5.AB и BA , вообще говоря, разные матрицы, и при существовании мат-
рицы AB матрица BA может и не существовать.
6. AI = A и IA = A , где I – квадратная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны нулю (матрица I называ-
ется единичной), т.е. |
|
|
|
|
1 |
0 |
… 0 |
|
|
|
0 |
1 |
… 0 |
|
I = |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
… 1 |
|
|
|
|||
Обратная матрица
Определение 2.10. Если A - квадратная матрица и det A = 0 , то матрицу
A называют вырожденной. Если же det A ≠ 0 , то A - невырожденная матрица.
Определение 2.11. Если A - невырожденная матрица, то существует матрица, обратная к матрице A , обозначаемая A−1 (матрицу A называют обрати-
мой). Матрицы A и A−1 связаны соотношением |
|
|
|
||||
|
|
A A−1 = A−1 A = I . |
|
(2.9) |
|||
где I - единичная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
Матрица, обратная к матрице |
A , |
имеет такой же размер ( n ×n ), как и |
|||||
матрица A , и находится по формуле |
|
|
|
|
|
||
|
|
A11 |
A21 |
… An1 |
|
|
|
A−1 = |
1 |
A12 |
A22 |
… An2 |
, |
(2.10) |
|
det A |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2n |
… |
|
|
|
|
|
A1n |
Ann |
|
|
||
где Aij - алгебраическое дополнение к элементу aij |
матрицы A . Иными слова- |
||||||
ми, матрица, стоящая в правой части (2.10), составлена соответственно из алгебраических дополнений к элементам матрицы A , а затем транспонирована.
33
Если матрица |
A имеет размер 2 |
a |
b |
, то для обратной к |
×2 , т.е. A = |
|
|||
|
|
c |
d |
|
ней матрицы получается простая формула
A−1 = |
1 |
d |
−b |
|
|
|
|
. |
(2.11) |
||
|
−c |
||||
|
det A |
a |
|
||
Ранг матрицы
Определение 2.12. Пусть A - матрица размера m ×n . Рассмотрим произвольные k строк и k столбцов матрицы A (k ≤ min{m, n}). Определитель по-
рядка k матрицы, элементы которой стоят на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка k матрицы A .
Определение 2.13. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A и обозначается r = r (A).
Из определения 2.12 следует, что
r (A)≤ min{m, n},
где m - количество строк, а n - количество столбцов матрицы A .
Можно дать другое определение ранга матрицы, эквивалентное определе-
нию 2.13.
Рассмотрим столбцы матрицы A как векторы m - мерного векторного пространства, а строки матрицы A как векторы n - мерного векторного про-
странства. Имеем две системы векторов: одна состоит из n векторов-столбцов
матрицы A , а вторая - из m векторов-строк матрицы A .
Определение 2.13′. Ранг матрицы A равен максимальному количеству линейно независимых векторов-столбцов (векторов-строк) матрицы A (см. оп-
ределение 1.28).
2.1.3. Системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных уравнений вида
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1 , |
|
|
||
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = b2 |
, |
(2.12) |
||
……………………… |
|
|||
|
|
|
|
|
a x |
+ a x +…+ a |
x = b , |
|
|
m1 1 |
m2 2 |
mn n |
m |
|
34
где x1,…, xn – неизвестные, aij (i =1, m; j =1, n ) – коэффициенты системы, а bi (i =1, m ) – правые части уравнений, содержит m уравнений с n неизвестными.
Определение 2.14. |
Матрица A =(aij )i=1,m |
называется матрицей системы |
|||||||
|
|
|
|
|
j=1,n |
|
|
|
|
(2.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2.15. |
Матрица, имеющая (n +1) столбцов, у которой пер- |
||||||||
вые n |
столбцов соответственно совпадают |
со столбцами матрицы |
A , а |
||||||
(n +1) |
– й столбец – это столбец правых частей системы (2.12), называется |
||||||||
расширенной матрицей системы и обозначается |
|
. Иными словами, |
|
||||||
A |
|
||||||||
|
|
|
|
a11 |
… a1n |
b1 |
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
. |
(2.13) |
|
|
|
A |
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
… a |
b |
|
||
|
|
|
|
m1 |
mn |
m |
|
||
Определение 2.16. Набор n чисел (x1,…, xn ) называется решением сис-
темы (2.12), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных в каждое уравнение системы все уравнения превращаются в тождественные равенства.
Если система (2.12) имеет решение, то ее называют совместной, если решений нет, то несовместной.
Определение 2.17. Если система имеет единственное решение, то ее называют определенной. Если решений бесчисленное множество, то неопределен-
ной.
Определение 2.18. Если у системы (2.12) все правые части уравнений равны нулю (bi = 0; i =1,m), то систему называют однородной. В противном случае – неоднородной.
Теорема Кронекера – Капелли. Система (2.12) совместна в том и только томслучае, когдарангматрицысистемыравенрангуеерасширеннойматрицы, т.е.
r (A)= r ( |
|
). |
(2.14) |
A |
Если выполнено равенство (2.14), то справедливы следующие утверждения. 1. Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, т.е.
r (A)= r ( |
|
)= n , |
(2.15) |
A |
то система имеет единственное решение.
35