Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

ряда, абсолютно сходится, т.е. сходится числовой ряд

Тогда ряд (3.1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать на отрезке ; . Вычислим коэф-

фициенты an и bn. Для этого проинтегрируем обе части равенства (3.2) в пределах от –π до π:

Вычислим каждый интеграл, встречающийся в правой часи:

Приведем формулы, которые понадобятся нам для вычисления остальных коэффициентов тригонометрического ряда.

40

Отсюда

Аналогично, умножив обе части равенства (3.2) на sinmx

и проинтегрировава почленно на отрезке ; , найдем коэф-

фициенты bn:

Коэффициенты, определяемые по формулам (3.4), (3.10), (3.11), назыыаются коэффициентами Фурье функции f x , а

тригонометрический ряд (3.1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f x .

3.2. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций

Выясним условия, при которых ряд Фурье функции f x

сходится и ео сумма равна значениям данной функции в соответствующих точках. Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть 2π-периодическая функция f x

на отрезке ; удовлетворяе следующим условиям:

1. f x кусочно-непрерывна, т.е. неррерывна или имеет

конечное число точек разрыва первого рода;

2. f x кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрез-

ке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом изних функция монотонна.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке при этом:

42

1. В точках нерерывности функции сумма ряда S x сов-

падает с самой функцией: S x f x ;

2. В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему

рихле, довольно широк. Поэтому ряды Фурье наши широкое применение в разичных разделах математики и ее приложениях.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f x с перио-

дом 2π, заданную следующим образом:

f x x, x .

Решение. Эта функция кусочно-монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Найдем коэффициенты ряда:

43

Таким образом, получаем ряд Фурье:

разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа слева, т.е. нулю.

Следовательно, для данной функции ряд Фурье имеет вид: