Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4	sin x			sin3x	sin5x		sin 2k 1 x
						...		... .
		1			5		2k 1
			3

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В точках разрыва сумма ряда равна нулю.

3.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция

f x ,

то

произведение

f x cosnx

есть

функция

также нечетная,

f x sinnx – четная. Следовательно:

f x dx 0,

f x cosnxdx 0,

x sinnxdx

f x

sinnxdx .

Таким образом, ряд Фурье для нечетных функций имеет вид:

f x bn sinnx.

(3.12)

n 1

f x ,

Если в ряд Фурье разлагается четная функция

то

произведение

f x cosnx

есть четная функция, а f x sinnx

–

нечетная. Следовательно:

f x dx

f x dx ,

x cosnxdx

f x

cosnxdx,

f x sinnxdx 0.

Таким образом, ряд Фурье для четной функции имеет вид:

	a0
f x	a0	an cosnx.	(3.13)
f x	2	an cosnx.	(3.13)
		n 1

Ряды (3.12) и (3.13) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по синусам и косинусам соответственно.

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при отыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f x x,

x ; , T 2 .

Решение.

Функция

f x

– нечетная.

Следовательно,

an 0,

n 0,1,2,...,

u x, dv sinnxdx

xsinnxdx

cosnx

du dx, v

cosnx

cosn

sinnx

1 n

1 n 1.

Ряд Фурье содержит только синусы:

f x

n 1

sin x

sin2x

sin3x

sinnx 2

... .

n 1

В точках разрыва функции сумма ряда Фурье равна:

S 0. 2

3.4. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

В ряд Фурье можно разлагать и периодические функции с

периодом, отличным от 2π. Пусть функция f x , определенная на отрезке l;l , имеет период T 2l (где l – произвольное по-

ложительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку x	l	t , данную функцию f x пре-
Сделав подстановку x		t , данную функцию f x пре-

образуем в функцию t f		l
			t	, которая определена на от-
			t	, которая определена на от-

резке ; и имеет период T 2 .

Функцию t можно разложить в ряд Фурье на отрезке

; :

			a0
	t		a0	an cosnt bn sinnt ,
	t		2	an cosnt bn sinnt ,
где				n 1
где
	1					1
an	1	t cosntdt ,			bn	1	t sinntdt.
an		t cosntdt ,			bn		t sinntdt.

Возвращаясь к старой переменной x и заметив, что t x , l

dt dx , получим: l

f x

cos

b sin

(3.14)

где

n 1

f x dx ,

(3.15)

f x

cos

dx,

(3.16)

1		l	nx
		f x sin
bn				dx.	(3.17)
	l		l

Ряд (3.14) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (3.15), (3.16) и (3.17), называется рядом Фурье для функции f x с периодом T 2l .

Все теоремы, которые имели место для рядов Фурье 2πпериодических функций, сохраняются и для рядов Фурье функ-

ций, период которых T 2l .

В частности, если функция f x

на отрезке l;l четная, то ее ряд Фурье имеет вид:

f x

an cos

(3.18)

где

n 1

f x dx,

f x cos

dx. (3.19)

Если функция f x нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид:

f x

bn sin

(3.20)

где

n 1

f x sin

dx.

(3.21)

f x x на

Пример.

Разложить в ряд Фурье

функцию

нтервале 4;4 .

Решение. Данная функция нечетная и удовлетворяет условиям Дирихле. По формулам (3.20) и (3.21) при l 4 имеем:

	nx
f x bn sin	nx	.
f x bn sin	4	.
n 1
49

Источник: https://studfile.net/preview/16568470/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)