Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам


	4		nx			1			4			nx		4	4 4		nx	4
	2		nx			1			4			nx		4	4 4		nx	4
b		xsin		dx			x			cos						sin
b	4	xsin	4	dx			x			cos						sin	4
n	4		4			2			n		4				n n		4
	0													0				0
	0													0				0
						8		cos n			8		1 n 1.
								cos n					1 n 1.
					n						n

Таким образом, ряд Фурье имеет вид:

									x			2 x			3 x
		8			nx	8	sin			sin			sin
f x		8	1	n 1	nx	8	sin		4	sin		4	sin	4
					sin				4			4		4		...
	n 1 n				sin									3		...
	n 1 n				4			1			2			3

для 4 x 4.

3.5. Разложение непериодической функции в ряд Фурье

Пусть на отрезке a;b задана непериодическая функция

y f x (рисунок). Такую функцию в точках ее непрерывности

можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную

функцию	f1 x	с периодом T 2 b a, совпадающую с
функцией	f x	на отрезке a;b .

Разложим функцию f1 x в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка a;b (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f x . Таким образом, мы разложили функ-

цию f x в ряд Фурье на отрезке a;b .

f(x)

λ-2μ	0	λ a	b λ+2μ	λ+4μ x
Рассмотрим частный случай. Пусть непериодическую
функцию f x требуется		разложить в ряд Фурье на отрезке

0;l . Такую функцию можно произвольным образом доопре-

делить на отрезке l;0 , а затем периодически продолжить с


периодом T 2l . Разложив в ряд Фурье на		отрезке l;l по-
лученную периодическую функцию f1 x ,		получим искомый
ряд для функции f x на отрезке 0;l .
В частности, функцию f x	можно доопределить на от-
резке l;0 четным образом, т.е.	чтобы при l x 0 было
f x f x . В этом случае функция f x		разлагается в ряд
Фурье, содержащий только косинусы.
Если же функцию f x продолжить на отрезке l;0 не-

четным образом, т.е. чтобы при l x 0		было f x f x .
В этом случае функция f x	разлагается в ряд Фурье, состоя-
щий только из синусов.
Пример. Разложить в	ряд по	косинусам функцию

f x x , 0 x .

f x на отрезке

Решение. Продолжим функцию

четным образом. Разложим в ряд функцию

, 0 x

f1 x

, x 0

с периодом T 2 .

		2		x
		2		x
an						cosnxdx
an				2		cosnxdx
			0
f x	x				2		cosx

		2						2
		2		4				1

где 0 x .

n2 1 cos n .

cos3x		cos5x
				...	,
3	2	5	2

3.6. Ряд Фурье в комплексной форме

Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд (3.2) и его коэффициенты (3.5), (3.10), (3.11) к комплексной форме. Для этого используем формулы Эйлера:

	einx e inx		einx e inx
cosnx		, sinnx		.
	2
			2i

Подставив эти выражения в ряд (3.5), получим:

inx

f x

n 1

					a0												e	inx		e		inx				e	inx		e		inx
					a0				an								e			e				ibn		e			e
									an											2				ibn					2
						2					n 1									2									2
				a0									an				ibn einx								an ibn e inx

		2																2									2
		2									n 1							2									2
														a0
														a0		cneinx c ne inx ,																		(3.22)
														2		cneinx c ne inx ,																		(3.22)
																	n 1
где обозначено c									n			an ibn						,			c		an ibn					.
												an ibn

													2								n			2
													2											2
Найдем выражения для комплексных коэффициентов cn и
c n . Используя выражения для an и bn, получим:
		1					1																	1
		1					1																	1

cn		2									f x cosnxdx i f x sinnxdx
cn		2									f x cosnxdx i f x sinnxdx

	1																										1
	1		f						x cosnx										isinnx dx								1			f x e		inx		dx, (3.23)
	2		f						x cosnx										isinnx dx								2			f x e				dx, (3.23)

																			a			1
															c0				a			1		f x dx,										(3.24)
																			0
																			2			2

		1					1																	1
		1					1																	1
c n
		2
		2						f x cosnxdx i f x sinnxdx

	1																										1
	1			f						x cosnx isinnx dx																	1				f x e	inx	dx. (3.25)
	2			f						x cosnx isinnx dx																		2			f x e		dx. (3.25)

Таким образом, формулу (3.22) можно записать в виде:

																	f x cneinx .																	(3.26)
																						n

Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (3.23) – (3.25), можно записать в виде:

	1
cb	1		f x e			inx	dx,	n 0, 1, 2,... .			(3.27)
cb	2		f x e				dx,	n 0, 1, 2,... .			(3.27)

Равенство (3.26) называется комплексной формой ряда
Фурье функции	f x . Числа cn , найденные по формуле (3.27),
называются комплексными коэффициентами ряда Фурье.
Если функция			f x	задается на отрезке l;l ,							то ком-
плексная форма ее ряда Фурье имеет вид:
									im x
			f x cne							,	(3.28)
			f x cne						l	,	(3.28)
							n
	1		l		in x
cn		f x e			in x		dx	n 0, 1, 2,... .			(3.29)
						l
	2l					l

Комплексная форма ряда Фурье и его коэффициентов более компактна, чем обыкновенный ряд Фурье.

Вэлектротехнике и радиотехнике члены ряда (3.28) назы-

ваются гармониками, коэффициенты cn – комплексными ам-

плитудами гармоник, а числа n	n	n 0, 1, 2,... – волно-
	l

выми числами функции f x cnei nx .

Совокупность волновых чисел называется спектром. Коэффициенты cn , определяемые формулами (3.29), называют

комплексной амплитудой. Совокупность модулей амплитуд cn

также иногда называют спектром функции f x .

Пример. Построить ряд Фурье в комплексной форме для периодической функции

0,	x 1;0 ,
	T 2.
f x	T 2.
1,	x 0;1 ,

Решение. По формулам (3.29) находим (l 1):

Источник: https://studfile.net/preview/16568470/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)