Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

с другой стороны, по определению

следовательно,

π1([ξ1, ξ2 ]) = π2 π3 (ξ1, ξ2 ) .

Аналогично

π2 ([ξ1, ξ2 ]) = π3 π1(ξ1, ξ2 ) ; π3 ([ξ1, ξ2 ]) = π1 π2 (ξ1, ξ2 ) .

Пример 2.15. Пусть ωk – дифференциальная k-форма задана в области D Rn , если x D задана k-форма ωk (x) : Txk D → R .

Пусть в области D задано векторное поле A = ( Ax , Ay , Az ) . Такое поле порождает в D две часто употребляемые дифференциальные

чину объема жидкости, протекающей за единицу времени через параллелограмм, построенный на векторах h1 , h2 . Так как

46

( A, [h1, h2 ]) = Axπ1[h1, h2 ] + Ayπ2[h1, h2 ] + Az π3[h1, h2 ] ,

то используя координатную запись этой 2-формы на векторах h1 ,

Окончательно из равенства (10.2) получаем

Axdy dz + Ay dz dx + Az dx dy .

Дифференциальная 2-форма

ω2A = Axdy dz + Aydz dx + Az dx dy ,

заданная в D , часто называется формой потока векторного поля A. По аналогии с трехмерным случаем для векторного поля

A = ( A1, ..., An ) , определенного в области D Rn , формой работы и

формой потока часто называют, соответственно, дифференциальную 1-форму

Задача 2.1. Привести к координатному виду дифференциальную форму

ω= (x2dx1 dx2 + x3dx1 dx3 + x4dx1 dx4 +

47

+ x3dx2 dx3 + x1dx2 dx4 + x1dx3 dx4 )

(x2dx1 + x3dx2 + x4dx3 + x1dx4 ) .

Решение. По свойствам внешнего произведения имеем

ω= (x3 x2 − x3 x3 + x2 x4 )dx1 dx2 dx3 +

+(x2 x1 − x3 x4 + x2 x1)dx1 dx2 dx4 +

+(x1x2 − x4 x4 + x1x3 )dx1 dx3 dx4 +

+ (x1x3 − x4 x4 + x1x2 )dx2 dx3 dx4 .

Пример 2.16. Вычислить значение дифференциальной формы ω

ω(ξ1, ξ2 ) = (−1)(−8) − 2 12 + 2 1 + 0 4 = −14 .

48

делах которого может меняться угол β, характеризующий положение плеча b.

Замечание 3.1. На рассмотренном примере видно, что порой координаты на множестве X (в примере 3.1 это α, β) возникают естественным образом и они сами вводят на множестве X топологию.

Пример 3.2. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из различных атомов.

Положение такой молекулы описывается координатами центра инерции и сферическими углами, определяющими направление отрезка, соединяющего атомы. Это означает, что конфигурационное пространство топологически эквивалентно произведению

R3 × S 2 (считается, что молекула не меняет внутреннего состояния; ее можно рассматривать как твердый стержень).

Пример 3.3. Положение двухатомной молекулы, состоящей из одинаковых атомов, описывается координатами центра инерции и, при фиксированном центре инерции, прямой, проходящей через центр инерции. Благодаря тому, что атомы одинаковы, направление на этой прямой не задано.

Конфигурационное пространство такой молекулы топологиче-

ски эквивалентно произведению R3 × RP2 , где RP2 – вещественная проективная плоскость.

Чтобы разобраться в том, что только что описано в примерах, нам недостаточно введенных ранее понятий.

Пусть X – топологическое пространство (см. гл. 2 § 1) и пусть

A X , A ≠ .

Определение 3.1. Точка b X называется предельной точкой множества A в топологическом пространстве X, если для любой окрестности Vb точки b существует такая точка a Vb ∩ A , что

a ≠ b .

Множество всех предельных точек множества A обозначается

A′ .

Пример 3.4. Множество Z-целых чисел в R1 не имеет предельных точек, т.е. Z′ = .

50