Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Множеством всех предельных точек открытого шара B3 в R3 яв-

ляется замкнутый шар B3 ={x R3; x ≤1} .

Определение 3.2. Множество F топологического пространства X называется замкнутым, если дополнение CF к F в X открыто в X,

где CF = X \ F .

Теорема 3.1. Пусть X – топологическое пространство F X . Множество F замкнуто тогда и только тогда, когда F содержит все свои предельные точки.

Или, другими словами, F замкнуто тогда и только тогда, когда дополнение CF не пересекается с множеством F′ всех предельных точек F, т.е. CF ∩ F′ =.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть F замкнуто, следовательно, CF открыто и поэтому CF – окрестность любой точки x CF . Поскольку CF ∩F = , то x не является предельной точкой F CF ∩ F′ = .

2. Достаточность. Пусть CF ∩ F′ = , т.е. CF состоит из непредельных точек F x CF Vx окрестность точки x, такая,

что Vx ∩ F = Vx CF CF = Vx – открытое множество,

x CF

как объединение открытых множеств, следовательно, F – замкнутое множество.

Определение 3.3. Замыканием подмножества G в топологическом пространстве X называется наименьшее замкнутое подмножество в X, содержащее G.

Замыкание множества G обозначается символом G .

Теорема 3.2. Пусть X – топологическое пространство, G X .

Тогда G =G G′.

Доказательство.

1. Покажем, что G G G′.

По определению замыкания G множества G имеем G G . Ос-

талось доказать, что G G′. Используем простой факт: если

A B , то A′ B′.

Тогда из G G G′ G′ G G′ G′ G G G′ G .

51

жеств, содержащих G. Мы же нашли замкнутое множество G G′ , содержащее G. Следовательно, G G G′.

Итак, G G G′ и G G G′. Оба включения дают равенство

G =G G′.

Теорема 3.3. Пусть X – топологическое пространство, A X и

B X . Тогда A B = A B .

Доказательство.

Но так как A B – замкнутое множество, содержащее A B , а A B – наименьшее из замкнутых множеств, содержащих A B ,

то A B A B . Следовательно, A B = A B .

В § 6 гл. 2 было введено понятие бикомпактного топологического пространства (см. определение 2.18). В курсе математического анализа уже встречалось понятие компактности подмножества K в

Rn .

Определение 3.4. Подмножество K в Rn называется компактным, если оно замкнуто и ограничено.

Вспомним принцип Бореля–Лебега.

Лемма 3.1 (Бореля–Лебега). Пусть [a, b] R1 , a < b . Из любо-

го открытого покрытия {Uα} отрезка [a, b] можно выделить конечное подпокрытие.

52

Предположим, что отрезок [a, b] = I1 не допускает конечного покрытия. Тогда, поделив I1 пополам, получим, что по крайней мере одна из его половин, которую обозначим I2 , не допускает конечного покрытия. С отрезком I2 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим I3 и т.д. Таким образом, возникает последовательность {In} вложенных отрезков, I1 I2 ... In ..., каждый элемент которой не допускает конечного покрытия интервалами из

Тогда по лемме о вложенных отрезках существует точка C, принадлежащая всем отрезкам последовательности {In} .

53

пологическое пространство с индуцированной топологией из R1 , [a, b] – бикомпакт. Но [a, b] – компакт, т.е. замкнутое ограничен-

ное множество в R1 . Следовательно, в R1 понятия компактности и бикомпактности совпадают.

Кроме того, справедлива теорема 3.4.

Теорема 3.4. Подмножество K в евклидовом пространстве Rn является бикомпактным тогда и только тогда, когда K ограничено и замкнуто, т.е. K компактно.

(Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.)

В общем случае в современной литературе употребляется термин компактности, хотя топологи иногда и сейчас употребляют термин бикомпактность.

Теорема 3.5. Пусть X – компактное топологическое пространство и F – замкнутое подмножество в X. Тогда F – компактное пространство.

Доказательство. Пусть {Uα}α J – произвольное открытое по-

крытие пространства F, как топологического пространства с индуцированной топологией из X.

Построим открытое покрытие {CF, Uα}α J пространства X, так как F замкнуто, то CF = X \ F открыто. Так как X – компакт, то из покрытия {CF, Uα}α J можно выделить конечное подпокрытие

CF, Uα1 , Uα2 , ..., Uαn . А так как X = CF F , то Uα1 , Uα2 , ..., Uαn –

покрытие множества F, т.е. F – компактное топологическое пространство.

Рассмотрим подробнее понятие топологического произведения двух топологических пространств.

Пусть ( X1, τ1) и ( X2 , τ2 ) – топологические пространства X1 с

изведением топологических пространств ( X1, τ1) и ( X2 , τ2 ) .

54

Замечание 3.2. следует обратить внимание на то, что множества вида G1 ×G2 , где G1 τ1 , G2 τ2 , образуют лишь базу топологии, а не все открытые множества прямого или топологического произведения ( X1 × X 2 , τ1 ×τ2 ) .

Пример 3.6. Пусть R1 – одномерное координатное пространство с топологией, задаваемой открытыми интервалами

(a, b) ={x R1 : a < x < b} ,

R2 – координатная плоскость с топологией, описанной в § 5 гл. 2 при n = 2 .

Тогда R2 = R1 × R1 , ибо всякое открытое множество в R2 можно получить, как объединение прямоугольных окрестностей всех его точек. Прямоугольники же (со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямыми произведениями интервалов –

открытых в R1 множеств.

B →V Rn , ψB – гомеоморфизм карты B на открытое множество

V Rn .

Тогда X ×Y можно рассматривать, как (m + n) -мерное тополо-

Пример 3.7. Двумерный тор T 2 = S1 ×S1 , T n = S1 ×...×S1 –

n раз

n-мерный тор являются топологическими произведениями двух и n окружностей S1 соответственно.

Определение 3.6. Пусть M n – n-мерное многообразие с атласом карт τ. Пусть A – карта атласа τ. Точка x A и пусть гомеоморфизм

ϕA : A → H n , где H n ={(x1, ..., xn ) Rn , x1 ≤ 0} Rxn1 , ..., xn .

55