Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Если ϕ(x) ∂H n ={(x1, ..., xn ) Rn : x1 = 0} , то x называется точкой края многообразия M n .

Определение 3.7. Совокупность всех точек многообразия M n

называется краем многообразия M n и обозначается символом ∂M n . В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема Брауэра) понятие точки края многообразия определено корректно, т.е. не зависит от используемых в определении 3.6 индиви-

дуальных локальных карт.

Теорема 3.6 (Брауэра). При гомеоморфизме ϕ: E →ϕ(E)

множества E Rn на множество ϕ(E) Rn внутренние точки множества E переходят во внутренние точки множества ϕ(E) .

Поскольку дальше будем рассматривать только гладкие многообразия, то инвариантность внутренних точек при диффеоморфизмах (гладких гомеоморфизмах) хорошо известна, как следствие теоремы об обратной функции, тогда оставляем теорему Брауэра без доказательства.

Определение 3.8. Многообразие M n , множество точек края которого непусто, называется многообразием с краем.

Под термином «многообразие» понимается обычно многообразие без края.

Теорема 3.7. Край ∂M n n-мерного многообразия M n с краем

ϕ−A1(ϕA ( A) ∩∂H n ) = ϕ−A1(ϕA ( A) ∩ Rn−1) ,

то ∂M n – (n −1) -мерное многообразие.

Определение 3.9. Топологическое пространство X называется связным, если в X нет таких подмножеств, отличных от X, , которые одновременно открыты и замкнуты. Множество G, лежащее в топологическом пространстве X, называется компонентой этого пространства, если G связно и не существует связного множества в

56

X, строго содержащего множество G. Иногда говорят о компонентах множества M X , имеются в виду при этом компоненты пространства M, как подпространства пространства X с индуцированной топологией.

Определение 3.10. Подмножество G X , X – топологическое пространство, называется всюду плотным в X, если G = X .

Определение 3.11. Многообразие M n называется компактным (связным), если оно является компактом (связно), как топологическое пространство.

Вернемся к примерам 3.1–3.3.

Конфигурационное пространство двойного плоского маятника является многообразием Mα2, β = Sα1 × Iβ1 размерности два. Mα2, β –

цилиндр, прямое (топологическое) произведение окружности Sα1 и отрезка Iβ1 . Оно компактно и связно, Mα2, β – многообразие с краем.

Край ∂Mα2, β является одномерным несвязным многообразием, со-

стоящим из двух компонент, т.е.

∂Mα2, β = Sα1 ×{− } Sα1 ×{ } ,

каждая компонента края – окружность.

В примере 3.2 конфигурационное пространство является пря-

В § 12 настоящей главы подробно рассмотрим многообразие RP2 – вещественную проектную плоскость.

§ 12. Ориентация гладкого многообразия

Для построения интеграла от дифференциальной формы нам понадобится понятие ориентации гладкого многообразия.

Пусть M n – гладкое многообразие размерности n. Будем предполагать, что M n связно. (Для того, чтобы ориентировать несвязное

57

многообразие, достаточно выбрать ориентацию каждой из его компонент (определение компоненты см. в § 11, определения 3.9 и 3.11).

функции перехода класса C∞ .

Якобиан системы функций перехода в точке x отличен от нуля:

Определение 3.12. Пусть x A ∩B . Если в точке x якобиан

J (x) системы функций перехода xi′ = f i (x1, ..., xn ) , i = 1, 2, …, n,

положителен, то говорят, что в точке x карты A и B имеют одинаковую ориентацию и противоположную в противном случае.

Определение 3.13. Говорят, что две карты A и B атласа гладкого многообразия M n согласованы, если либо A ∩B = , либо A ∩ B ≠ и в любой точке A ∩ B они имеют одинаковую ориентацию.

Определение 3.14. Гладкий атлас многообразия M n называется ориентированным, если все его карты попарно согласованы.

Такой атлас называется атласом, ориентирующим гладкое многообразие M n .

Определение 3.15. Гладкое многообразие M n называется ориентируемым, если оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае оно называется неориентируемым.

Определение 3.16. Два ориентирующих атласа многообразия

M n будем считать эквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации многообразия), если их объединение является ориентирующим атласом этого многообразия.

58

Нетрудно проверить, что введенное отношение является отношением эквивалентности.

Определение 3.17. Класс эквивалентности ориентирующих ат-

ласов многообразия M n по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией многообразия.

Определение 3.18. Ориентированным многообразием называется гладкое многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т.е. с фиксированной на многообразии ориентацией.

Значит, ориентировать гладкое многообразие – это указать на нем (тем или иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для этого, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий атлас данного класса ориентации.

Теорема 3.8. Связное гладкое многообразие либо неориентируемо, либо допускает две ориентации.

Доказательство. Пусть M n – гладкое многообразие размерности n и пусть τ1 ={A} и τ2 ={A} – два ориентирующих многообразие

M n атласа с диффеоморфными переходами от локальных координат карт одного из них к локальным координатам карт другого.

Предположим, что нашлась точка x0 M n и две карты A τ1 , Aτ2 , такие, что x0 A ∩ A и якобиан системы функций перехода

от локальных координат карты A к локальным координатам карты A в точке x0 положителен. Покажем, что тогда для любой точки

x M n и для любой пары карт B τ1 и B τ2 , пересечение которых содержит точку x, якобиан функций перехода от локальных коорди-

нат карты B к локальным координатам карты B в точке x является также положительным.

Сделаем, прежде всего, такое наблюдение, что если в точке

x M n якобиан функций перехода (будем говорить иногда якобиан преобразований координат) положителен (отрицателен) для ка- кой-то пары включающих точку x карт из атласов τ1 и τ2 , то он в

точке x положителен (отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах одного атласа преобразования координат происходит с положительным якобианом (ведь атлас ориентирую-

59

щий многообразие), а якобиан композиции отображений равен произведению их якобианов.

Пусть теперь X – подмножество M n , состоящее из всех тех то-

чек x M n , в которых преобразование координат от карт одного атласа к картам другого атласа происходит с положительным якобианом.

Множество X ≠ , так как x0 X , X открыто в M n . В самом деле, x X Aτ1 , Aτ2 , такие, что x A ∩ A . Множества A и A открыты в M n (по определению карты атласа многообразия), следовательно, A ∩ A открыто в M n . На содержащей точку x связной компоненте множества A ∩ A , являющейся открытым множе-

ством в A ∩ A и в M n , якобиан преобразования координат не может менять знак, не обращаясь в нуль. Таким образом, в некоторой окрестности точки x X якобиан остается положительным, что и доказывает открытость множества X. Но множество X еще и замк-

нуто в M n . Это следует из непрерывности якобиана диффеоморфизмов и того обстоятельства, что якобиан диффеоморфизмов не обращается в нуль.

Итак, X – открытое замкнутое подмножество связного множест-

первую x1 на −x1 , получим ориентирующий атлас −τ1 , принадлежащий другому классу ориентаций. Поскольку якобиан преобразования координат из произвольной карты в карты атласов τ1 и −τ1

Определение 3.19. Пусть M n – гладкое ориентированное многообразие, τ – ориентирующий M n гладкий атлас.

60