Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Пространство X, построенное в примере 2.10, бикомпактно со счетной базой, но с топологией, состоящей в том, что точки a и b не имеют непересекающихся окрестностей.

6.2. Аксиомы отделимости

Приведем условия, дающие ограничения на топологию снизу, т.е. при выполнении этих ограничений число открытых множеств не может быть слишком маленьким.

Определение 2.18. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет аксиоме Ti , i = 0, 1, 2, 3, 4, если выполнены сле-

дующие условия.

Аксиома Колмогорова T0 : для любых двух различных точек x, y X по крайней мере одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома T1 : для любых двух различных точек x, y X суще-

ствует открытая окрестность точки x, не содержащая точку y, и существует открытая окрестность точки y, не содержащая точку x.

Аксиома T2 : для всякой пары различных точек из X существуют непересекающиеся их открытые окрестности. Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме T2 , называется хаусдорфовым.

Аксиома T3 : для любой точки x X и всякого не содержащего ее замкнутого множества F существуют такие непересекающиеся открытые подмножества V1 и V2 , что x V1 X , F V2 X .

Аксиома T4 : для любой пары непересекающихся замкнутых множеств F1 , F2 , Fi X , i = 1, 2, существуют непересекающиеся открытые множества U1 , U2 в X, такие, что F1 U1 , F2 U2 .

Определение 2.19. Топологическое пространство называется регулярным, если оно одновременно удовлетворяет аксиомам T1 и T3 .

Определение 2.20. Топологическое пространство называется нормальным, еслионо одновременно удовлетворяетаксиомам T1 и T4 .

Лемма 2.1. В хаусдорфовом пространстве предел сходящейся последовательности единственен.

Доказательство. Пусть {xn} сходится и {xn } X , X – хаусдорфово пространство.

36

{xn} сходится a X : xn → a при n →+∞ .

Предположим, что b X , a ≠ b и xn → b при n →+∞ . Возьмем такие открытые окрестности U (a) и V (b) , a U (a) , b V (b)

и V (b) ∩U (a) = . Так как xn n→+∞→ a U (a) N n > N : xn U (a) . Значит, в V (b) может лежать лишь конечное число на-

чальных членов последовательности {xn} , что противоречит тому, что b – предел последовательности {xn} .

Лемма 2.2. В хаусдорфовом пространстве X любое одноточечное подмножество замкнуто. (Доказать самостоятельно.)

§ 7. Понятие гладкого многообразия

Определение 2.21. Говорят, что на топологическом пространстве X задана карта, если выделено открытое множество A, которое го-

меоморфно отображается на открытое множество пространства Rn . Определение 2.22. Число n называется размерностью карты A. Заметим, что не всякое топологическое пространство допускает карту. Задание карты накладывает сильные ограничения на тополо-

гию пространства.

Пример 2.11. В качестве примера топологического пространства, на котором нет карты, можно взять множество всех рациональных

(или иррациональных) чисел с топологией, индуцированной из R1 . Задание карты налагает ограничения на топологию только в одном месте – месте ее задания. Хотелось бы наложить ограничения

на топологию глобально.

Определение 2.23. Множество карт, покрывающих все топологическое пространство, называется атласом.

Определение 2.24. Топологическое пространство называется топологическим многообразием, если оно хаусдорфово, со второй аксиомой счетности, допускает атлас данной размерности n.

Пусть X – топологическое многообразие с атласом размерности n и пусть A и B – две карты атласа, A ∩ B ≠ (рис. 2).

h : A →U Rn (x1, ..., xn ) ,

k : B →V Rn ( y1, ..., yn ) – соответствующие гомеоморфизмы.

37

Тогда xi = f i ( y1, ..., yn ) , i = 1, 2, …, n и y j = g j (x1, ..., xn ) , j = 1, 2, …, n; где f i – координатная запись отображения

h k −1 : k( A ∩ B) → h( A ∩ B) , g j – координатная запись отображения

k h−1 : h( A ∩ B) → k( A ∩ B) .

Рис. 2

Определение 2.25. Отображения k h−1 , h k−1 называются функциями перехода от координат (x1, ..., xn ) к координатам

( y1, ..., yn ) .

Теперь определим на топологическом многообразии M новую структуру – структуру гладкого многообразия. Предположим, что на топологическом многообразии M удалось найти гладкий атлас, т.е. такой атлас, что в местах пересечения любых двух карт зависимость координат гладкая (гладкая зависимость понимается как

38

гладкость типа C∞ , т.е. у функций перехода имеются частные производные любого порядка n).

Замечание 2.2. Не из любого атласа можно выбрать гладкий атлас. Например, при n >10 существуют топологические многообразия, не допускающие гладких атласов. В произвольном топологическом многообразии гладкая зависимость между картами разрушается при замене координат.

Определение 2.26. Атлас топологического многообразия M назы-

ваетсягладким, есливсе функциипереходапринадлежатклассу C∞ . Определение 2.27. Два гладких атласа называются эквивалентными, если для любой карты A из первого гладкого атласа и для любой карты B из второго гладкого атласа, A ∩ B ≠ , связь между

ними гладкая. Если A ∩B =, то карты A и B гладко связаны по определению.

Определение 2.28. Говорят, что на топологическом многообразии M определена гладкая структура (в топологическое многообразие внесена гладкая структура), если задан гладкий атлас с точностью до замены эквивалентным гладким атласом (фиксированной размерности n).

Топологическое многообразие, в которое внесена гладкая структура, называется гладким.

Замечание 2.3. Для гладких многообразий требование хаусдорфовости в определении топологического многообразия не вытекает из остальных требований гладкости многообразия.

Связное хаусдорфово локально-евклидово топологическое пространство может не иметь счетной базы (пример Прюффера).

§ 8. Касательное пространство

Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие и x M n – произвольная точка в M n . Выберем в окрестности точки x две системы координат (x1, ..., xn ) и (x1′, ..., xn′ ), т.е. рассмотрим две карты h :

39

Определение 2.29. Говорят, что в точке x на многообразии M n задан вектор, если в каждой карте (отвечающей гладкой структуре)

задан упорядоченный набор n чисел ξ1, ..., ξn (координаты вектора

в данной карте), которые при переходе от одной карты к другой преобразуются по закону

ξi′ = ∂xii′ ξi ,

∂x

∂xi′

где частные производные ∂xi вычисляются в точке x.

Замечание 2.4. Определение вектора непротиворечиво. Действительно, пусть есть координаты x1′′, ..., xn′′ . В этих координатах

∂xi′′

ξi′′ = ∂xi ξi .

∂xi′′

Верно ли, что ξi′′ = ∂xi′ ξi′ ? Имеем

Определение 2.30. Все векторы многообразия M n в точке x образуют векторное пространство, которое называется касательным пространством к M в точке x и обозначается Tx M .

Линейные операции в пространстве Tx M определяются следующим образом:

ξ(ξ1, ..., ξn ) + η(η1, ..., ηn ) = (ξ + η)(ξ1 + η1, ..., ξn + ηn ) ,

где ξ(ξ1, ..., ξn ) – вектор с координатами ξ1, ..., ξn и

λξ(ξ1, ..., ξn ) = ξ(λξ1, ..., λξn ) .

Эти операции выполняются в каждой точке. Данные определения корректны, т.е. λξi и ξi + ηi преобразуются по закону, определяющему вектор.

40