Документ: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014, страницы 61-65

Конечная совокупность карт {Ai}iS=1 атласа τ называется цепоч-

кой карт, если i , i = 1, 2, …, S −1 : Ai ∩ Ai+1 ≠ .

Определение 3.20. Цепочка карт называется противоречивой или дезориентирующей, если якобиан преобразования координат от любой карты цепочки к следующей ее карте положителен. Первая и последняя карты цепочки пересекаются, но преобразование координат от последней карты цепочки к первой карте имеет отрицательный якобиан.

Теорема 3.9. Гладкое многообразие M n ориентировано тогда и только тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.

Доказательство. Поскольку любое многообразие распадается на связные компоненты, ориентация которых задается независимо,

достаточно доказать теорему для связного многообразия M n .

Необходимость. Пусть связное многообразие M n ориентировано гладким ориентирующим атласом τ. Согласно теореме 3.8 любая карта, гладко связанная с картами атласа τ, согласована со всеми картами атласа τ. Нужно утверждение теоремы 3.8 применить к взятой карте, рассматриваемой как связное ориентированное одной картой многообразие, а карты атласа τ ограничить на это множество, т.е. взять их следы на этом множестве.

Отсюда следует, что противоречивый цепочки карт на многооб-

разии M n не существует.

Достаточность. Из определения многообразия следует, что на M n существует атлас, состоящий из конечного или счетного числа

карт. Возьмем		такой	атлас τ	и	занумеруем	его		карты
A1, A2 , ..., An , ... . Рассмотрим карту				A1	и любую карту	Ai , такую,
что A1 ∩ Ai	≠ .				(x11, x12 , ..., x1n ),
Пусть в	A1 локальные координаты				(x11, x12 , ..., x1n ),	а в	Ai ло-
кальные координаты (xi1′, xi2′, ..., xin′)				и	xij′ = f j (x11, ..., x1n )		–	функ-
ции перехода или преобразования координат класса						C∞ ,		j = 1,
2, …, n. Тогда на		A1 ∩ Ai	якобиан либо положителен, либо отрица-
телен, т.е.

61

∂(fi1	, ..., fin )	> 0	или	∂(fi1	, ...,	fin )	< 0	на A1 ∩ Ai .
∂(x11	, ..., x1n )	> 0	или	∂(x11	, ...,	x1n )	< 0	на A1 ∩ Ai .

Якобиан не может иметь значения разных знаков, поскольку иначе в множестве A1 Ai можно было бы указать связные подмножества

отрицательности и положительности якобиана A− , A+ и цепочка карт A1 , A+ , Ai , A− оказалась бы противоречивой, что невозможно

по условию теоремы.

Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте Ai , можно получить карту, согласованную с картой A1 . После опи-

санной	процедуры две	карты Ai и Ak атласа τ, такие, что
A1 ∩ Ai	≠ , A1 ∩ Ak ≠ ,	Ai ∩ Ak ≠ сами окажутся согласован-

ными: иначе построили бы противоречивую цепочку из трех карт. Таким образом, все карты атласа τ, пересекающиеся с картой A1,

уже можно считать согласованными между собой. Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею новые, не охваченные на первом этапе карты атласа τ. Противоречивых ситуаций при этом не возникает, поскольку противоречивых цепочек карт

на многообразии M n не существует по условию теоремы. Продолжая этот процесс и учитывая связность многообразия,

построим на нем атлас, состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируемость данного многообразия.

Теорема 3.10. Край ∂M n ориентируемого гладкого n-мерного многообразия M n является ориентируемым (n −1) -мерным многообразием, допускающим структуру той же гладкости, что и исход-

ное многообразие.	τ ={A }∞
Доказательство. Пусть	τ ={A }∞		– гладкий атлас, ориенти-
	i	i=1
рующий гладкое многообразие M n		с краем. Тогда все карты атласа
τ попарно согласованы.

Рассмотрим те карты атласа τ, которые гомеоморфны полупространству H n , т.е. являются окрестностями точек края ∂M n многообразия M n .

62

Пусть Ai и Aj – две такие карты атласа τ и они имеют непустое пересечение. Пусть x0 ∂M n и x0 Ai ∩ Aj . Локальными коорди-

натами карты Ai являются (x1, ..., xn ) , а локальными координатами карты Aj – (x1′, ..., xn′) и xk′ = f k (x1, ..., xn ) , k = 1, 2, …, n функции перехода от локальных координат (x1, ..., xn ) к локальным коорди-

натам (x1′, ..., xn′) . Так как карты Ai и Aj согласованы, то якобиан системы функций перехода во всех точках пересечения Ai ∩ Aj ,

т.е. x Ai ∩ Aj :

∂x1′

...

∂x1

det J (x) =

∂x1

∂xn

> 0 .

...

... ...

∂xn′

...

∂xn′

∂x1

∂xn

x

Пусть ϕ :

A → H n , ϕ

j

:

A

j

→ H n – гомеоморфизмы карт A ,

A

j

i

атласа τ (i, j фиксированы).

ϕ−1

Рассмотрим сужение

ϕ−1

и

на

∂H n = Rn−1 . Получим

i

j

∂A = ϕ−1 / ∂H n = Rn−1 ,

∂A = ϕ−1 / ∂H n = Rn−1 .

Множества ∂A

и

1

k

J

j

i

∂Aj

имеют непустое

пересечение,

так

как

x0 ∂Ai

∩∂Aj ,

ибо

x ∂M n

и, следовательно,

ϕ (x ) ∂H n ,

ϕ

j

(x ) ∂H n

. Тогда

∂A

0

i

0

i

и ∂Aj

можно рассматривать в качестве карт атласа края ∂M n мно-

гообразия M n .

Пусть

τ∂M n ={∂Ak }

для всех карт

Ak ,

гомеоморфных полупро-

странству H n , следовательно,

τ

∂M

n – атлас многообразия ∂M n . Для

доказательства теоремы осталось проверить, что все карты атласа τ∂M n попарно согласованы, это и будет означать, что атлас τ∂M n –

ориентирующий атлас многообразия ∂M n размерности n −1 .

63

Докажем согласованность карт ∂Ai и ∂Aj , где Ai и Aj содержат

точку x ∂M n . Так как ∂H n ={(x1	, ..., xn ) Rn : x1 = 0} , то
0
x1′ = f 1(0, x2 , ..., xn ) ≡ 0 , так как функции	f l (x1, ..., xn ) , l = 1, 2, …,

n, являются функциями перехода от одних локальных координат к другим локальным координатам и, следовательно, задают диффео-

морфизм ϕi ( Ai )

на

ϕj ( Aj ) . А при диффеоморфизме граничные

точки

переходят в

граничные

точки.

Рассмотрим

x1 < 0 , тогда

x1′ = f 1(x1, ..., xn ) < 0 . Тогда

∂f

1

∂f

1

=

∂f 3

=

... =

∂f

=

0 , а

1 (0, x2 , ..., xn ) > 0

∂x

2

n

∂x

(по

определению

частной

производной),

следовательно,

∂f 1

(x ) > 0 , и так как

∂x1

0

∂f 1

0

...

0

∂f 2 ...

∂f 2

∂x1

det J (x ) =

∂f 2

...

∂f 2

=

∂f

1

(x )

∂x2

∂xn

> 0 ,

1

∂x

2

∂x

n

1

... ...

...

0

∂x

0

...

... ... ...

∂x

∂f

n

∂f

n

...

∂f n

...

∂f n

x

∂x2

∂xn

x

∂x1

∂x2

∂xn

0

то отсюда

∂f 2

...

∂f 2

∂x2

∂xn

> 0 .

... ...

...

∂f n

...

∂f n

∂x2

∂xn

x

0

Следовательно,

якобиан

системы

функций

перехода

xl′ = f l (0, x2 , ..., xn )

положителен, l = 2, 3, …, n, а это означает, что

64

карты ∂Ai и ∂Aj атласа τ∂M n края ∂M n многообразия M n согла-

сованы.

Карты Ai , Aj были выбраны произвольно, они пересекались и

содержали точку края ∂M n .

Если карты Ak и As атласа τ многообразия M n содержат точки

края ∂M n и не пересекаются и гомеоморфны H n , то соответствующие им карты ∂Ak и ∂As из атласа τ∂M n по определению явля-

ются согласованными.

Следовательно, атлас τ∂M n является ориентирующим атласом

многообразия ∂M n	и теорема доказана.
Замечание 3.3.	В	качестве	замкнутого полупространства
H n Rn можно	было взять		H n{(x1, ..., xn ) Rn : x1 ≥ 0} , т.е.
H+n : x1 ≥ 0 , H−n : x1 ≤ 0		с индуцированной из Rn топологией. Ги-
перплоскость Γ: x1 = 0		является общим краем H+n и H−n . При этом

ориентации гиперплоскости Γ, согласованные с ориентациями H+n и H−n , противоположны.

Замечание 3.4. Пусть Rn – евклидово n-мерное пространство и

пусть k < n , Rk Rn , Rk – k-мерное евклидово			пространство,

H k – замкнутое полупространство в Rk .
Как было определено n-мерное многообразие M n			с краем ∂M n ,
также можно определить и k-мерное многообразие			M k с краем
∂M k , k ≥1 .

Определение 3.21. Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие с краем ∂M n , τM n ={Ai ; ϕi : Ai → Rn} {Ak ; ϕk : Ak → H n} – ориентирующий гладкий атлас многообразия M n , где Ai , Ak – карты

атласа, ϕi , ϕk – соответствующие гомеоморфизмы на Rn и H n . Совокупность карт {∂Ak = ϕ−k1 / ∂H n = Rn−1} – ориентирующий

атлас края ∂M n многообразия M n , обозначаемый τ∂M n .

65

Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Смотрите также: