Документ: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014, страницы 66-70

Задаваемая атласом τ∂M n ориентация края ∂M n многообразия

M n называется согласованной с ориентацией многообразия M n или индуцированной ориентацией края.

Рассмотрим несколько примеров ориентируемых и неориентируемых многообразий.

Пример 3.8. Евклидово n-мерное пространство Rn является связным некомпактным многообразием размерности n без края.

Полупространство H n ={(x1, ..., xn ) Rn : x1 ≤ 0} является связным некомпактным многообразием с краем

∂H n ={(x1, ..., xn ) Rn : x1 = 0} ,

Rn и H n ориентируемы. Ориентирующий атлас в том и другом случае можно взять состоящим из одной карты, а в качестве гомеоморфизма – тождественное отображение.

Пример 3.9. Вещественная проективная прямая RP1. Рас-

смотрим множество всех прямых плоскости R2 , проходящих через начало координат с естественным отношением близости прямых (измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямы-

ми). Введенная близость между прямыми, элементами RP1 задает топологию на RP1 .

Каждая прямая рассматриваемого пучка прямых плоскости R2 однозначно определяется направляющим вектором, т.е. ненулевым

вектором (x1, x2 ) , коллинеарным прямой, причем два таких векто-

ра задают одну и ту же прямую пучка тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Значит, RP1 можно рассматривать как совокупность классов эквивалентных упорядоченных пар (x1, x2 ) вещественных чисел.

При этом, по крайней мере, одно из чисел пары должно быть отлично от нуля и две пары считаются эквивалентными (отождеств-

ляются), если они пропорциональны. Упорядоченные пары (x1, x2 )

обычно называют однородными координатами на RP1 .

Построим атлас из двух карт, используя однородные координаты. Пусть A – множество всех тех прямых (всех тех классов пар

(x1, x2 ) ) из RP1 , для которых x1 ≠ 0 , а B – множество всех тех

66

прямых (всех тех классов пар (x1, x2 ) ) из RP1 , для которых x2 ≠ 0 .

Каждый

паре

(x1, x2 ) ,

x1 ≠ 0 ,

соответствует единственная

пара

x2

(x1, x2 ) ,

x2 ≠ 0 ,

1,

,

а каждой паре

соответствует единствен-

1

x

x1

ная пара

, 1 .

2

x

Следовательно, в A вводится локальная координата y =

x2

, а в

1

x1

x

B –

локальная

координата

y′ =

,

ибо

между

классами

пар

x2

(x1, x2 ) ,

x1 ≠

и классами пар

x2

устанавливается взаимно

0

1,

1

x

однозначное

соответствие,

аналогично,

между

классами

пар

(x1, x2 ) ,

x2 ≠

и классами пар

x1

устанавливается взаимно

0

, 1

2

x

однозначное соответствие. Следовательно, на RP1 введен атлас, состоящий из двух карт A и B. Карта A с локальной координатой y и карта B с локальной координатой y′ , A ∩ B ≠ .

Найдем функцию перехода от координаты y к y′ . Пусть точка p A ∩ B . В карте A точка p имеет координату y, а в карте B p имеет координату y′ .

1

2

1

Тогда

y′ = f ′( y) = y−1 , так как

y′ =

x

,

а

y =

x

,

y′ =

2

1

x

y

∂f ′ = −

1

< 0 . Якобиан не меняет знак на

A ∩ B , следовательно,

y2

∂y

карты A и B согласованы и выбранный атлас является ориенти-

рующим атласом и поэтому RP1 является связным ориентируемым

одномерным многообразием.

Дадим следующую интерпретацию RP1 :

каждая прямая пучка

прямых, проходящих через начало координат в плоскости R2 , оп-

67

ределяется однозначно точкой пересечения с единичной окруж-

ностью на R2 с центром в начале координат. Таких точек ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точ-

ками окружности. Близость прямых, задающая топологию на RP1 , равносильна близости соответствующих пар точек окружности.

Значит, RP1 можно интерпретировать как окружность с отождествленными диаметрально противоположными точками. Если взять полуокружность, то на ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек – концы полуокружности. Склеив их, получим

снова топологическую окружность. Таким образом, RP1 как топологическое пространство гомеоморфно окружности.

Применим критерий ориентируемости многообразия для дока-

зательства ориентируемости RP1 . Для этого из построенного атласа, состоящего из двух карт A и B, A с локальной координатой y и B с локальной координатой y′ , получим ориентирующий атлас. Из-

меним знак локальной координаты одной из двух карт.

Положим		y = y в	A, y = −y′	в	B. Тогда p A ∩ B :
y = f ( y) = −1	;	якобиан этого преобразования координат в любой
y
точке A ∩ B		∂f		1
		∂f	= (−1)(−y−2 ) =	1	> 0 .
		∂y	= (−1)(−y−2 ) =	y2	> 0 .
		∂y		y2

Откуда следует по определению согласованности карт A и B и тот факт, что атлас, состоящий из карт A и B с локальными координатами y и y соответственно, является ориентирующим, следова-

тельно, RP1 – гладкое одномерное связное ориентируемое многообразие без края.

Заметим, что ориентируемость многообразия RP1 следует из его гомеоморфности окружности.

Пример 3.10. Вещественная проективная плоскость RP2.

Пусть RP2 – множество всех прямых (пучок прямых), проходящих

через начало координат евклидова пространства R3 с естественным отношением близости прямых (измеряемой, например, мень-

68

шим плоским углом, образованным этими прямыми). Близость порождает топологию в RP2 .

Поскольку каждая прямая из RP2 однозначно определяется своим направляющим вектором, т.е. любым ненулевым вектором

(x1, x2 , x3 ) , коллинеарным прямой, то RP2 можно рассматривать

как совокупность классов пропорциональных троек вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно. Рассмотрим атлас,

состоящий из трех карт A, B, C топологического пространства RP2 . A – множество всех классов упорядоченных пропорциональных

троек (x1, x2 , x3 ) с условием: x1 ≠ 0 , аналогично B – с условием x2 ≠ 0 , C – с условием x3 ≠ 0 . Тогда в A локальная система коор-

динат 1, x2 , x3 ( y1, y2 ) :

x1 x1

1

x2

2

x3

y =

,

y

=

,

1

x

в B локальная система координат

x1

, 1,

x3

( y1′, y2′) :

2

x

2

x

y1′ =

x1

,

y2′ =

x3

,

x2

и в C локальная система координат

x1

,

x2

, 1

( y1′′, y2′′) :

3

x

3

x

y1′′ =

x1

,

y2′′ =

x2

.

x3

(12.1)

(12.2)

(12.3)

Так как A ∩ B ≠ , из (12.1) возникают функции перехода от локальных координат ( y1, y2 ) к локальным координатам ( y1′, y2′) :

	1′	=	f	1	1	2	1	(−1)	;
y		=	f		( y , y		) = ( y )		;	(12.1′)
	2′ = f 2 ( y1, y2 ) = y2 ( y1)−1.									(12.1′)
y	2′ = f 2 ( y1, y2 ) = y2 ( y1)−1.

69

Так как B ∩C ≠ , то из (12.2) возникают функции перехода от

локальных

координат

( y1′, y2′)

к

локальным

координатам

( y1′′, y2′′) :

1′′

=

f

1′

, y

2′

1′

( y

2′

)

−1

;

y

( y

) = y

(12.2′)

2′′

= f 2′( y1′, y2′) = ( y2′)−1.

y

Так как A ∩C ≠ ,

то из (12.3) возникают функции перехода от

локальных

координат

( y1, y2 )

к

локальным

координатам

( y1′′, y2′′) :

1′′

=

f

1′′

1

2

)

= ( y

2

)

−1

;

y

( y , y

(12.3′)

( y2 )−1,

y2′′ = f 2′′( y1, y2 ) = y1

A ∩ B ∩C ≠ .

Пусть

p A ∩ B ∩C .

Тогда p( y1, y2 ) в A,

p( y1′, y2′) в B, p( y1′′, y2′′) в C.

y1′′(12.2′) = y1′ ( y2′)−1(12.1′)

= ( y1)−1( y2 ( y1)−1)−1 = ( y1)−1 y1( y2 )−1 = ( y2 )−1;

y2′′(12.2′)

= ( y2′)−1(12.1′) = ( y2 ( y1)−1)−1 = ( y2 )−1 y1;

т.е. получим формулу (12.3′).

Так функции f i , f i′, f i′′ , i = 1, 2 являются функциями класса C∞ от своих аргументов, следовательно, атлас, состоящий из трех

карт A, B, С задает на RP2 гладкую структуру, т.е. RP2 – гладкое двумерное многообразие.

Вычислим теперь якобиан преобразования координат

		∂y1′	∂y1′		−( y1)−2				3
∂( y1′, y2′)		∂y1	∂y2		−( y1)−2	0		1	3
	=			=			= −			;
∂( y1, y2 )	=	∂y2′	∂y2′	=	−y2 ( y1)−2	( y1)−1	= −	y1		;
∂( y1, y2 )		∂y2′	∂y2′		−y2 ( y1)−2	( y1)−1		y1
		∂y1	∂y2

70

Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Смотрите также: