Документ: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014, страницы 76-80

точек, для которых x1 < 0 в локальных координатах (x1, x2 , ..., xn )

выбранной карты атласа многообразия M n .

Пример 3.12. Пусть M n

–

гладкое

многообразие, D – открытое множество в

M n , для

которого

замыкание

ком-

D

пактно и

граница

\ D –

гладкая.

D = D

Если x D , то возьмем некоторый кубик

K, содержащий точку x D

и целиком

лежащий в D. Если точка x D =

\ D ,

D

то окружим ее допустимым кубиком (из

определения гладкой границы). Проделав

, в результате

это для любой точки x D

получим, что замыкание

будет покры-

Рис. 6

D

то открытыми кубиками. А так как по

условию

компактно, то из этого по-

D

крытия (см. § 1 гл. 3) можно выделить

конечное подпокрытие K1 , …, KN .

N

Ki

, т.е.

содержится в открытом множестве

Ki , яв-

D

i=1

ляющимся объединением открытых кубиков.

Согласно лемме 3.2 для каждого кубика существует гладкая функция кубика ΨKi , i = 1, 2, …, N (можно брать произвольные

функции кубика, а необязательно те, которые построены в опреде-

лении 3.23).

Положим ei = eKi =		ΨKi					. Заметим, что в некоторой
	ΨK	+... + ΨK			N
1
N
окрестности Ki замыкания			D	множества D:
i=1
ΨK (x) +... + ΨK							(x) > 0 .
1						N

Тогда построенные функции ei удовлетворяют следующим ус-

ловиям.

1. x Ki ei (x) > 0 , i =1, 2, ..., N.

76

2. x Ki ei (x) = 0 , i =1, 2, ..., N.

N

3.∑ei

i=1

N

(x) ≡1 на Ki D .

i=1

Определение 3.24. Пусть M n – гладкое многообразие размерности n, X – подмножество M n . Говорят, что система E ={eα}α J

функций e :	M n → R1 является k-гладким разбиением единицы на
α
X, если:	x M n 0 ≤ e (x) ≤1;
1) e E	x M n 0 ≤ e (x) ≤1;
α	α

2) каждая точка x X имеет такую окрестность U (x) в M n ,

что только конечное число функций системы E отлично от тождественного нуля на U (x) ;

3) ∑ eα (x) ≡1 на X.

eα E

Замечание 3.5. В силу условия 2 при любом x X в последней сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.

Замечание 3.6. Построенная в примере 3.12. система функций e1 (x), ..., eN (x) является разбиением единицы на некоторой окрест-

ности множества D .

Определение 3.25. Пусть μ ={Vβ}β J – открытое покрытие мно-

жества X M n , говорят, что разбиение единицы E ={eα}α J на X

подчинено покрытию µ, если носитель любой функции из системы E содержится, по крайней мере, в одном из множеств системы µ.

Подведем итог всему сказанному в этом параграфе.

1. Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие с гладким атласом карт, D – открытое множество в M n , замыкание D которого компактно и граница D = D \ D – гладкая. Тогда на некотором

множестве G, содержащем D , существует гладкое разбиение единицы на G.

2. Если M n – гладкое компактное многообразие размерности n с гладким атласом карт τ, то на M n существует конечное разбиение единицы, подчиненноепокрытиюмногообразия M n картамиатласаτ.

77

В самом деле, так как M n – компакт, то атлас τ можно считать

конечным. Рассматривая D = M n , получаем сформулированный результат.

§ 14. Интеграл от формы по гладкому многообразию

Определение 3.26. Пусть M n – n-мерное гладкое ориентированное многообразие, ориентирующий атлас τ которого состоит из

одной карты D,		x D , h:	D → Rn , h – гомеоморфизм, (x1, ..., xn ) –
локальные координаты в карте D.
Пусть ωn	– n-форма на M n , x M n :
ωn (x) :		T nM n → R1 , где T nM n =T M n ×...×T M n ,
		x		x n	x	x
T M n – касательное пространство к M n в точке x.
x	∑
ωn (x) =	∑	ai1...in (x)dxi1 ... dxin ,			ai1...in (x)	– функции клас-
1≤i1<...<in ≤n
са C∞ на M n . Пусть a				(x) – существенная координата формы
		12...n

ωn , x D → M n .

Интегралом n-формы ωn по ориентированному многообразию M n называется

∫ ω = ∫ ω =			∫	a12...n (x) dx1 ... dxn =
M n	Dx	Dx ( x1, ..., xn )
	=	∫	a12...n (x) dx1 dx2 ... dxn ,
	Dx ( x1 , ..., xn )

где слева стоит определяемый интеграл, а справа обычный кратный

интеграл по области Dx от функции a12...n (x) .

Проверим, что сформулированное определение 3.26 корректно, т.е. не зависит от выбора локальной системы координат.

Пусть D = M n , D τ.

h : D → Rxn1, ..., xn , h(D) =Ux1 , ..., xn ;

h′: D → Rxn1′, ..., xn′ , h′(D) =Ux′1′, ..., xn′ , h, h′ –

78

′

многообразия

M

n

с картой

гомеоморфизмы и пусть атласы τ и τ

′

D –

единственная карта, h,

h

′

–

гомеоморфизмы и

D τ, D τ ,

(x1, ..., xn ) – локальные координаты D τ,

(x1′, ..., xn′)

– локальные

′

одинаково ориентированы,

координаты D τ

и пусть атласы τ, τ

т.е. якобиан

∂(x1, ..., xn )

> 0 на D. Тогда

∂(x1′, ..., xn′)

∫

ω=

∫

b12...n (x) dx1′...dxn′ =

D=M n

D( x1′, ..., xn′)

∂(x1, ..., xn )

1

n

=

∫

a12...n

(x)

dx

′...dx ′ =

1

n

D(x1 , ..., xn )

∂(x ′, ..., x ′)

=

∫

a12...n (x) dx1 dx2 ... dxn

D( x1 , ..., xn )

в силу формулы замены переменных в кратком интервале, так как

∂(x1, ..., xn ) = ∂(x1, ..., xn ) > 0 на D. ∂(x1′, ..., xn′) ∂(x1′, ..., xn′)

Определение 3.27. Носителем определенной на гладком многообразии M n формы ω называется замыкание множества тех точек x M n , где ω(x) ≠ 0 .

Носитель формы ω обозначается символом supp ω . Вне носите-

ля координатное представление формы ω в любой локальной системе координат является нулевой формой данной степени.

Определение 3.28. Заданная на многообразии M n форма ω называется финитной формой, если supp ω – компакт в M n .

Определение 3.29. Пусть ω – финитная форма степени n на n- мерном гладком многообразии, ориентированном гладким атласом

τ. Пусть A , ..., A		– конечный набор карт атласа τ, h :			A → Rn ,
1	n			i	i
h – гомеоморфизм, h ( A ) =U			i	Rn , i = 1, 2, …, m, покрывающий
i		i i	i

supp ω , e1, ..., em – разбиение единицы, подчиненное этому покрытию на supp ω . Можно считать, что supp ei Ai , i = 1, 2, …, m.

79

Каждому отображению

h−1 :

U

i

→ A

соответствует отображение

i

(hi−1 )* : Tx*M n →Th*i (x) Rn

касательного пространства к многообразию

M n

в точке x в про-

странство

T*

Rn , где T*

Rn

–

сопряженное к

T

Rn – каса-

h ( x)

i

тельному пространству к Rn

в точке h (x) , отвечающему в карте

i

A ,

h :

A →U

i

Rn

многообразия M n

касательному пространст-

i

ву T M n , x A

, i = 1, 2, …, m.

x

i

Пространство T*

Rn , сопряженное к

T

Rn

, естественно счи-

h (x)

h ( x)

1

i

тать представителем пространства

T*M n

в этой локальной карте

x

Ai , i = 1, 2, …, m. В локальных координатах (xi1, ..., xin )

карты Ai

базису

∂

, ...,

∂

пространства

T

Rn

(или

T

( x)

H n , если

1

n

∂x

hi ( x)

hi

∂x

i

x ∂M n ) отвечает взаимный с ним базис

dx1, ..., dxn

в сопряжен-

i

ном

пространстве.

Напомним,

что

dxk (ξ) = ξk ,

поэтому

k

∂

k

k-форма

k

n

1

dx

= δ

j

. Тогда

ω

:

T

M

→ R .

Если условиться

∂x j

x

считать форму ωi переносом заданной на M n формы ω в область параметров карты Ai , то естественно считать, что ωi = (hi−1 )* ω и если координатное представление в области Ui = hi ( Ai ) : ωn = a(x)dx1 ... dxn . Тогда по определению

∫	m	(hi−1 )* eiω,
∫	ω= ∑ ∫	(hi−1 )* eiω,
M n	i=1 Ui

где (hi−1 )* (eiω) – координатное представление формы eiω/ Ai в области Ui изменения локальных координат карты Ai , i = 1, 2, …, m.

80

Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Смотрите также: