Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

ориентированному многообразию M n

вытекает, что

∫(hi−1 )* ωij = ∫ (hi−1 )* ωij = ∫ (h−j 1 )* ωij = ∫ (h−j 1 )* ωij ;

Ui

hi (Bij )

hj (Bij )

U j

m

m

m

∑ fij =

∑eiej = ej ∑e1 = ej ;

i=1

i=1

i=1

m

m

m

∑ fij =

∑eiej = ei ∑ej = ei ;

j=1

j=1

j=1

m

m

m m

supp ω=

(Ai ∩ Aj )= Bij ;

i=1 j=1

i=1 j=1

∫

m

∫

m

m

∫ (hi−1 )* (ωij ) =

ω = ∑

(hi−1)* (eiω) = ∑∑

M

n

i=1 h

(B

)

i=1

j=1 h

(B )

i

ij

i

ij

m m

(hi−1 )*

m

m

(h−j 1 )* (ωij ) =

= ∑∑ ∫

(ωij ) = ∑∑ ∫

i=1 j=1 W

j=1 i=1 W

ij

ij

m m

∫ (h−j

m

∫

m

(h−j 1 )* (ejω) ,

= ∑∑

1 )* (ωij ) = ∑

(h−j 1 )* (ejω) = ∑ ∫

j=1 i=1 h

(B )

j=1 h

(B

)

j=1 U

j

j

ij

j

ij

т.е.

m

m

−j 1 )* (ejω) ,

∫ ω= ∑ ∫(hi−1 )* (eiω) = ∑ ∫ (h

M

n

i=1 U

j=1 U

j

1

тогда корректность определения интеграла доказана.

§ 15. Формула Стокса

Теорема 3.11

(многомерная

теорема Стокса).

Пусть M n –

Тогда ∫

ω= ∫ dω, где ориентация края ∂M n многообразия

∂M n

M n

M n

Доказательство. Пусть M n ориентировано гладким атласом τ,

A , ..., A

– карты атласа τ, покрывающие supp dω, h :

A → Rn ,

1

m

i

i

При i =1

∂a (x)

1

1

1

∂a (x)

∫ 1

∫

1

1

n

∫ ∫

∫

1

1

2

n

∂ω =

1

= ...

1

dx

... dx

=

∂x

dx ...dx

∂x

dx

A

n

0

0

0

I

зательства теоремы видно, однако, что формула ∫

ω= ∫ dω вер-

∂M n

M n

на и для форм класса C(2) на многообразии M n ,

допускающем

формы такой гладкости.

supp ω – компакт,

лежащий

строго

внутри

M n , т.е.

supp ω∩∂M n = , то

∫ dω= 0 .

M n

Замечание 3.10. Если

M n – компактное многообразие, то для

любой формы ω на

M n

ее носитель supp ω ,

как замкнутое под-

множество компакта

M n , является компактом. Следовательно, в

этом случае любая форма ω на M n

является финитной и имеет ме-

сто равенство ∫dω= ∫ ω. В частности, если M n –

компактное

M

∂M

Стокса

∫ ω= ∫ dω, вообще говоря, не имеет места.

∂M n

M n

xdy − ydx

Пример 3.13. Рассмотрим

форму

ω=

в круговом

x2 + y2

кольце

M 2 ={(x, y) R2 ;1 ≤ x2 + y2 ≤ 2} , наделенном стандартны-

ми декартовыми координатами.

M 2

– компактное гладкое двумерное ориентируемое многооб-

разие, край ∂M 2 которого состоит из двух окружностей

C ={(x, y) R2 ; x2 + y2

= i} , i = 1, 2.

i

Поскольку dω = 0 0 = ∫ dω = ∫ ω− ∫ω, где обе

окружности

M 2

C2

C1

пробегаются против часовой стрелки. Мы знаем, что

∫ω= ∫ ω = 2π ≠ 0 .

C1

C2

Значит,

если

вместо кольца

M 2

рассмотреть многообразие

M 2 = M 2 \ C1 ,

то ∂M 2 = C2

и

∫ dω= 0 ≠

∫ ω= 2π

и формула

Стокса неверна.

M 2

∂M 2

§ 16. Замкнутые и точные формы на многообразии

Пусть M n – гладкое многообразие,

dim M n = n .

Определение 3.30. Форма

ω Ωk (M n )

называется замкнутой,

если dω = 0 .

Определение 3.31. Форма ω Ωk (M n ) ,

k > 0 , называется точ-