Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Множество всех k-форм на многообразии M n обозначим символом Z k (M n ) , множество всех точных k-форм – символом

Bk (M n ) .

Согласно п. 3 определения 2.34 (см. гл. 2 § 9) внешнего диффе-

ренциала формы, для любой формы ω Ω(M n )	имеет место соот-
ношение d(dω) = 0 . Следовательно, для	любого k ≥ 0

Bk (M n ) Z k (M n ) (это включение строгое).

Важный вопрос о разрешимости (относительно α) уравнения dα = ω при выполнении необходимого условия dω = 0 на форму ω оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия M n .

Определение 3.32. Многообразие M называется стягиваемым (в точку x0 M ) или гомотонным точке, если существует такое глад-

кое отображение	F : M × I → M ,		где	I ={t R1; 0 ≤ t ≤1} , что
F(x, 1) = x и F(x, 0) = x0 .
Пример 3.14. Пространство		Rn	стягивается в точку посредст-
вом отображения F(x, t) = tx , x		= θ Rn .
	0
Теорема 3.12	(Пуанкаре).	Любая		замкнутая (k +1) -форма

(k ≥ 0) на стягиваемом в точку гладком многообразии M является

точной.

Доказательство. Рассмотрим цилиндр M × I – прямое произведение гладкого многообразия M на единичный отрезок I и два отображения

gi : M → M × I , i = 0, 1, заданных формулой;

gi (x) = (x, i) , x M ,

отождествляющие M с основаниями цилиндра M × I . Тогда, как это показано в § 8 гл. 2 учебного пособия, возникают

отображения:

gi* : Ωk (M × I ) → Ωk (M ) ,

которые сводятся к тому, что в форме из Ωk (M × I ) переменная t заменяется значением i (i = 0, 1) , при этом di = 0 .

Построим линейный оператор

		K :		Ωk +1(M × I ) → Ωk (M ) ,
который на мономах определяется следующим образом:
	(x, t) M × I ,					ωk +1 Ωk+1(M × I ) ,
где			∑			ai1...ik +1 (x, t) dxi1 ... dxik +1
ωk+1(x, t) =			∑			ai1...ik +1 (x, t) dxi1 ... dxik +1		+
		1≤t1 <...<tk +1≤n+1
		+ a	...i	(x, t) dt dxi1 ... dxik ;
		i	...i
		1	k
K (ai1...ii+1 (x, t) dxi1 ... dxik +1 )= 0							по определению;
		K (ai1...ik (x, t) dt dxi1 ... dxik )=
	1				i	i	по определению.
=	a	(x, t) dt dx 1				... dx k	по определению.
	∫ i1	...ik
	0
Основное нужное свойство оператора K состоит в том, что для лю-
бой формы ω Ωk+1(M × I )					имеет место соотношение:
		K (dω) + d(Kω) = gω− gω.						(16.1)
						1	0

Соотношение (16.1) достаточно проверить для мономов, поскольку

все операторы K, d, g* , g			*	линейны.
	1	0
Если ω= a(x, t) dxi1		... dxik +1 , то Kω = 0 , d (Kω) = 0 ,
dω=	∂a dt dxi1			... dxik +1				+[члены без dt] ,
	∂t
		1		∂a	dt		i	i
	K(dω) =		∫	∂t	dt	dx 1		... dx k +1 =
			∫	∂t
			0

=(a(x, 1) − a(x, 0)) dxi1 ... dxik +1 = g1*ω− g0*ω

исоотношение (16.1) справедливо.

Если ω= a(x, t) dt dxi1 ... dxik , то gω= gω= 0 , так как
1	0

di = 0 .

−∑

∂a

K (dω) = K

dx 0

... dx k

∂x 0

∑

∂a

∫

= −

∂x

dt dx 0

dx 1

... dx k ,

d(Kω) = d

∫

a(x, t) dt dx 1

... dx k

∑

∂

∫

∂x

a(x, t) dt dxi0

dxi1

... dxik

∑

∂a

∫

∂x

dt dx 0

dx 1

... dx k

(использовали теорему о дифференцировании определенного интеграла по параметру).

Таким образом, d(Kω) = K (dω) = 0 и соотношение (16.1) спра-

ведливо и в этом случае.
Пусть теперь M – стягиваемое в точку x0 M							многообразие,
F :	M × I → M ,		указанное в		определении 3.32		отображение,
ω−(k +1) -форма			на M.	Тогда	F	g1 : M → M –	тождественное
отображение, а F			g0 : M → x0		– отображение M в точку x0 , по-
этому (g*		F* )ω = ω и (g*		F* )ω= 0 .
	1		0
Значит, в этом случае из соотношения (16.1) следует, что
			K(d(Fω)) + d(K(Fω)) = 0 .				(16.2)
Если	к тому же		ω – замкнутая			форма на M,	то поскольку

d (F*ω) = F* (dω) = 0 , то из (16.2) получаем, что d(K (F*ω)) = ω . Таким образом, замкнутая форма ω является внешним диффе-

ренциалом формы α = K (F*ω) Ωk (M ) , т.е. ω является точной формой на M.

Пример 3.15. Пусть A(x, y, z) , B(x, y, z) , C(x, y, z) – гладкие

вещественные функции переменных x, y, z из R3 . Требуется решить относительно функций P, Q, R систему уравнений

∂R	−	∂Q	= A;
∂y		∂z

∂P		∂R
	−		= B;	(16.3)
∂z		∂x

∂Q	−	∂P	= C.
∂x		∂y

Для совместности системы (16.3) необходимо, чтобы функции A, B, С удовлетворяли соотношению:

∂∂Ax + ∂∂By + ∂∂Cz = 0 ,

которое равносильно замкнутости в R3 формы

ω = Ady dz + Bdz dx + Cdx dy .

Система (16.3) будет решена, если будет найдена такая форма

α = Pdx + Qdy + Rdz ,

что dα = ω. Используя отображение F(x, t) = xt примера 3.14 и

методику, изложенную в доказательстве теоремы Пуанкаре, получим

			1
			∫
		α = K(F*ω) =		A(tx, ty, tz) dt ( ydz − zdy) +
		0
	1				1
	∫				∫
+		B(tx, ty, tz) dt (zdx	− xdz) +			C(tx, ty, tz) dt (xdy − ydx) .
0				0

Можно непосредственно проверить, что dα = ω.

Замечание 3.12. Произвол в выборе формы α, удовлетворяющий условию dα = ω, обычно довольно большой. Вместе с формой

α любая форма вида α + dη, очевидно, тоже будет удовлетворять

условию:

d(α + dη) = dα + d(dη) = dα = ω .

Следствие 3.1. На стягиваемом многообразии M любые две формы α и β, удовлетворяющие условию dα = dβ = ω, отличаются

на точную форму.

Действительно, d(α −β) = 0 , т.е. форма (α −β) – замкнутая на M, а значит, по теореме Пуанкаре она точна.

Источник: https://studfile.net/preview/16708810/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27