Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Г л а в а 4

ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ

§ 17. Потенциальные векторные поля

Пример 4.1. Рассмотрим				векторное			поле ξ и R2 \ {O} , где
R2 = R2	, O – начало координат
xy
				y		x
	ξ =	−			,			.
	ξ =	−	x2	+ y2	,	x2 + y2		.
			x2	+ y2		x2 + y2

Поставим вопрос о потенциальности этого поля в R2 \ {O} . Вспомним определения.

Определение 4.1. Пусть ξ – векторное поле в области D Rn . Функция u: D → R называется потенциалом поля в области D, если в этой области ξ = grad u .

Определение 4.2. Поле, обладающее потенциалом в области D, называется потенциальным в D.

В физике при рассмотрении разного рода силовых полей потенциалом поля F обычно называют такую функцию U, что F = −gradU . Такой потенциал отличается от введенного в определении 4.1 только знаком.

Пример 4.2. Напряженность F гравитационного поля, создаваемого помещенной в начало координат точечной массой M, в точке пространства, имеющей радиус-вектор r , вычисляется по формуле:

F = −GM rr ,

где r = r . Это сила, с которой поле действует на единичную массу

в соответствующей точке пространства. Гравитационное поле F потенциально. Его потенциал, в смысле определения 4.1, – функ-

ция U, определенная в Rn \ {O} :

U = GM 1r .

Пример 4.3. Напряженность E электрического поля точечного заряда q, помещенного в начало координат, в точке пространства, имеющей радиус-вектор r , вычисляется по закону Кулона:

E = 4πεq 0 r13 r .

Поле E потенциально в R3 \ {O} . Его потенциал ϕ в физической терминологии определяется соотношением:

ϕ = 4πεq 0 1r − ϕ = E .

Необходимое условие потенциальности векторного поля. На

языке дифференциальных форм равенство: ξ = U означает,

что

ω1 = dω0 = dU . Откуда вытекает, что 1-форма ω1

замкнута,

так

d (dωU0 )= 0 .

как

dω1ξ = 0 ,

ибо

В декартовых

координатах

A = ( A1, ..., An )

и существует U, такая, что A = U ,

то i , i = 1,

∂U

2, …,

n A

при

достаточной

гладкости

потенциала

∂xi

U (x1, ..., xn ) (например,

U C2 (D) ,

D –

область в

Rn ) должно

быть

∂Ai = ∂A j

, i, j = 1, 2, …, n,

∂x j

∂xi

что означает

∂2U

на

∂xi∂x j

∂x j∂xi

n	dω1A	n
ω1A = ∑ Aidxi ,	dω1A	= d ∑Aidxi	=
i=1		i=1

n	n n	i
= ∑ d( Aidxi ) = ∑∑		∂Aj dx j dxi = 0
i=1	i=1 j=1	∂x
	∂Ai =	∂A j	,
	∂x j	∂xi

так как dx j dxi = −dxi dx j . В случае n = 3 , т.е. в R3

dω1A = ω2rot A .

Следовательно, необходимым условием потенциальности получается хорошо известное в математическом анализе условие: A потенциально rot A = θ, что соответствует знакомому условию:

rot U = θ.

Пример 4.1 (продолжение). Возвращаемся к случаю: n = 2 . В

R2 \ {O}

Ay ) = ( A1, A2 ) .

A =

−

= ( Ax ,

+ y2

x2 + y2

∂A1

∂A2

∂A

∂Ay

Для него получается

x =

выполнено. Но мы

∂y

∂x

∂y

покажем позднее, что это поле не является потенциальным, т.е. условие: dω1A = ω2rot A , являясь необходимым, вообще говоря, не явля-

ется достаточным для потенциальности поля.

Теорема 4.1 (критерий потенциальности векторного поля).

Непрерывное в области D Rn векторное поле A потенциально в D тогда и только тогда, когда его циркуляция (работа) на любом лежащем в D замкнутом пути γ равна нулю:

∫ A ds = 0 ,

где γ: [a, b] → D (замкнутость пути γ означает, что γ(a) = γ(b) D ).

Вычислим циркуляцию поля							A по окружности C: x2 + y2 =1 ,
C R2 \ {O} . Зададим C параметрически
	C :	x = cost;				t [0, 2π) ds = (dx, dy);

		y = sin t,
		−ydx + xdy				2π
∫	A ds = ∫					= ∫	(sin	2	t + cos	2	t) dt = 2π ≠ 0 ,
		x	2	+ y	2
С	C					0

следовательно, циркуляция поля							A по окружности C, пробегаемой

против часовой стрелки один раз, равна 2π ≠ 0 . Откуда следует на основании теоремы 4.1 из математического анализа, что поле A не является потенциальным в области R2 \ {O} .

Но ведь

arctg

−

и казалось бы функ-

x2 + y2

ция arctg

и претендует на роль потенциала поля A .

Что это – противоречие?

Пока нет. Так как функция arctg

не определена во всей облас-

ти R2 \ {O} , ибо в точках оси Oy она не существует.

Но тогда можно рассмотреть функцию ϕ(x, y)

– полярный угол

точки

(x, y) R2 .

Практически

это

та же

функция

arctg

на

\ {(0, y), y R},

но

ϕ(x, y) определена и при

x = 0 ,

лишь бы

(x, y)

не совпадала

началом координат. Всюду

области

\ {O}:

dϕ = −

dx +

dy .

x2 + y2

Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже ситуация более деликатная. Надо обратить внимание на то, что ϕ на самом деле не является непрерывной однозначной функцией точки

в R2 \ {O} . При обходе точки вокруг начала координат против ча-

совой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2π , когда точка вернется в исходное положение, т.е. приходим в исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следовательно, надо отказаться либо от условия непрерывности ϕ(x, y)

вобласти R2 \ {O} , либо от однозначности ϕ.

Вмалой окрестности (не содержащей начало координат) каждой

точки области R2 \ {O} можно выделить непрерывную однознач-

ную ветвь функции ϕ. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоянную, кратную 2π . Все они имеют одинаковый дифференциал и могут служить локальными потенциалами поля

A . Тем не менее поле A во всей области R2 \ {O} потенциала не

имеет.

Теорема 4.2. Если необходимое условие потенциальности поля

выполняется в некотором шаре B Rn , то в этом шаре поле имеет потенциал.

§ 18. Топологическая структура области и потенциал

Сопоставляя пример 4.1 и теорему 4.2, можно заключить, что при выполнении необходимого условия dω1A = 0 потенциальности

векторного поля A вопрос о том, всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической структурой) области, в которой поле задано.

В силу теоремы 3.12 (Пуанкаре) любая замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить эти локально первообразные в одну форму на всем многообразии удается далеко не всегда, как видно в примере 4.1, и это зависит от топологической структуры многообразия.

Определение 4.3. Говорят, что в области D Rn имеется гомотопия (или деформация) замкнутого пути

Источник: https://studfile.net/preview/16708810/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27