Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014
Г л а в а 5
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ
§ 21. Как различить два заданных многообразия?
Ответ на поставленный вопрос можно получить, если построить систему инвариантов алгебраической и аналитической природы, которые можно вычислить по определенным правилам для каждого из заданных многообразий.
Определение 5.1. Два топологических или гладких многообразия M1 и M2 негомеоморфны или недиффеоморфны друг другу, если хотя бы один из инвариантов принимает различные значения
на M1 и M2 .
Инварианты могут быть дискретными или непрерывными. С простейшими из них мы познакомились в гл. 2–4, например с размерностью или ориентацией многообразий. Чтобы понять как соотносятся между собой гомотопические и гомологические инварианты, воспользуемся физической аналогией.
Рассмотрим два способа изучения электрических полей – внешний и внутренний. Например, распределение поля заряженного шара можно определить:
1)из взаимодействия с известным пробным (эталонным) телом;
2)изучая структуру (поле) самого шара.
Аналогом первого из этих методов служит теория гомотопий, второго – теория гомологий. Между двумя теориями существуют различные нетривиальные соотношения. С гомологиями мы познакомились в гл. 4. Теперь рассмотрим некоторые понятия и методы теории гомотопий.
106
§22. Гомотопические группы
игомотопическая эквивалентность
Определение 5.2. Пусть X и Y – два топологических пространства; f, g – непрерывные отображения
|
f : |
X → Y и g : X → Y . |
|
Два отображения |
f и |
g называются гомотопными (обозначение |
|
f g ), если существует такое непрерывное отображение |
|||
|
|
F : |
X [0,1] →Y , |
что F (x, 0) = f (x) , |
F (x, 1) = g(x) , x X . При этом t [0, 1] соот- |
||
ветствует отображение |
ft : |
X → Y , где |
|
|
|
|
ft (x) = F( x, t) . |
Эти отображения непрерывны и они непрерывно зависят от t. Иными словами, два непрерывных отображения f : X → Y и
g : X → Y гомотопны, если отображение f можно продеформиро-
вать в отображение g в классе непрерывных отображений, т.е. существует однопараметрическое семейство отображений с началом f и концом g.
Пусть Y и Y ′ – два топологических пространства. Мы хотим распознать: гомеоморфны они или нет? Для этого можно рассматривать отображение топологического пространства X в Y и в Y ′ с
точностью до гомотопии. Например, X = S1 – одномерная сфера – окружность. Получится дискретное множество классов эквивалентных отображений. Его можно изучить. Если такие множества окажутся разными, то Y заведомо не гомеоморфно Y ′.
Оказывается, что эти множества обладают структурой группы.
22.1. Фундаментальная группа топологического пространства
Пусть X = S1 , а в топологическом пространстве Y выбрана точка y0 . Выберем на окружности S1 точку *. Рассмотрим множество всех непрерывных отображений
f : S1 →Y ,
107
при которых точка * отображается в y0 . На этом множестве есть отношение гомотопности. При этом в процессе гомотопии отмеченная на окружности S′1 точка * все время должна переходить в y0 , т.е.
t [0, 1] : F (*, t) = y0 .
Определение 5.3. Множество классов эквивалентности по этому отношению называется фундаментальной группой и обозначается π1 (Y ; y0 ) .
Замечание 5.1. Как правило, фундаментальная группа рассматривается для линейно связного Y.
В определении фундаментальной группы π1 ( X , x0 ) вместо ото-
бражений S1 → X можно рассматривать отображения отрезка [0, 1] → X , при которых оба конца отрезка переходят в отмеченную
точку x0 . |
|
Определение 5.4. Отображение |
f : [0, 1] → X , где X – такое то- |
пологическое пространство с отмеченной точкой x0 , что |
|
f (0) = x0 и |
f (1) = x0 |
называется петлей. При этом f – непрерывное отображение (рис. 7).
Рис. 7
Определение 5.5. Пространством петель Ω( X , x0 ) называется множество непрерывных отображений
(S1; *) → ( X ; x0 ) .
Элементы фундаментальной группы π1 ( X ; x0 ) соответствуют компонентам линейной связности пространства Ω( X ; x0 ) .
108
Свойства фундаментальной группы.
1. Если топологическое пространство X гомеоморфно топологическому пространству X ′ , то множества π1 ( X ) и π1 ( X ′) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии.
В самом деле, пусть h : X → X ′ – гомеоморфизм, x0 X , x0′ = h( x0 ) . Каждой петле ϕ: (S1; *) → ( X , x0 ) сопоставляем петлю
ψ= h Dϕ: (S1; *) → ( X ′; x0′ ) .
2.Групповая структура. Неформально композиция двух путей определяется следующим образом: сначала проходим первый путь,
апотом второй.
Пусть ϕ и ψ – два отображения отрезка [0, 1] → X , переводящие точки 0, 1 в x0 .
Определение 5.6. Композицией петель ϕ и ψ называется такая
петля χ = ϕψ , что |
|
|
|
|
|
|
|
χ(t) = ϕ(2t) |
при |
0 ≤ t ≤ |
1 |
, |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
χ(t) = ψ(2t −1) |
при |
|
1 |
≤ t ≤1 . |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Если петли ϕ′ и ψ′ гомотопны петлям ϕ и ψ соответственно, то петля χ′ = ϕ′ψ′ гомотопна петле χ = ϕψ .
Ассоциативность (с точностью до гомотопии) композиции петель очевидна.
Единичный элемент группы – это класс постоянного отображе-
ния S1 → x0 , x0 X .
Обратный элемент – петля, проходимая в обратном направлении. Гомотопность постоянному отображению петли, пройденной сначала в одном направлении, а затем в обратном, можно установить, потянув за точку 1/2 (в процессе гомотопии эта точка не обязана отображаться в отмеченную точку x0 ).
Существует ли топологическое пространство X, для которого группа π1 ( X ) не единичная?
Пример 5.1. π1(S1 ) = ] – множество целых чисел.
109
Доказательство. Пространство петель Ω(S1) гомеоморфно
пространству отображений ϕ: |
[0, 1] → R1 , таких, что ϕ(0) = 0 , |
ϕ(1) ]. Отображение S1 → S1 |
мы заменяем на отображение от- |
резка [0, 1] → R1 . Для этого параметризуем окружность и использу-
ем локальную координату на окружности – аргумент (локально обратное отображение к отображению α → exp(2πiα) ). Мы полагаем,
что ϕ(0) = 0 , а ϕ(1) должно отличаться на целое число.
Пусть ϕ(1) = k . Тогда для любой гомотопной петли получим то
же самое число k . Это следует из того, что в процессе гомотопии число k должно изменяться непрерывно, и при этом все время оставаться целым, поэтому оно не изменяется.
Множество всех петель с одним и тем же индексом k линейно связно, т.е. все петли гомотопны.
Пусть ϕ и ϕ1 – функции с одним и тем же индексом k. Рассмотрим t [0, 1]: tϕ+ (1 −t)ϕ1 . Эта функция соответствует петле с индексом k. Семейство функций
t [0, 1]: tϕ+ (1 −t)ϕ1 = F (x, t)
представляет собой гомотопию, связывающую ϕ и ϕ1 :
F(x, 0) = ϕ(x) , F ( x, 1) = ϕ1 (x) .
22.2. Старшие гомотопические группы
Для распознания топологических пространств X и X ′ можно выбрать модельное множество A и рассмотреть множество классов непрерывных отображений [ A, X ] с точностью до гомотопии.
Пусть фиксированы точки a0 A и x0 X . Множество классов гомотопически эквивалентных отображений A → X , переводящих точку a0 в точку x0 , обозначается Π( A, X ) . Множество Π(S n ; X ) имеет специальное обозначение πn ( X ) .
Замечание 5.2. В зависимости от конкретной задачи иногда удобно бывает выбрать в A подмножество B и считать, что отображение B → X фиксировано.
110