Документ: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014, страницы 26-30

4.l* ( AF p ) = A(l*F p ) .

5.l* (F p F q ) = (l*F p ) (l*F q ) .

Рассмотрим примеры.

Пример 1.4. Пусть X, Y – линейные пространства над R. Пусть

e1, ..., em – базис в X,

e1, ..., en

– базис в Y, l : X →Y

– линейное

отображение X в Y.

l(e ) = c je

j

,

i = 1,2, …, m,

j = 1, 2, …, n.

i

Если k-форма Fk

в базисе e , ..., e

имеет координатное представ-

Y

1

n

bj1... jk = FYk (ej1 , ..., ejk ), то

ление: FYk ( y1, ...,

yk ) = bj1... jk y1j1 ...ykjk ,

где

(l

*

k

i1

ik

j1

jk

FY )(x1, ..., xk ) = ai1...ik x1

...xk , где ai1...ik = bj1... jk ci1

...cik , так как

ai1...ik

= (l*FYk )(ei1 , ..., eik )= FYk (lei1 , ..., leik )=

k

j1

jk

k

(ej1

j1

jk

= FY (ci1 ej1 , ..., cik ejk

)= FY

, ..., ejk )ci1 ... cik .

Пример 1.5. Пусть e1, ..., em и e1, ..., en – базисы сопряженных

пространств X * ,

Y * ,

взаимные базисам (пример 1.4)

пространств

X, Y соответственно.

Пусть x X – произвольный элемент, тогда

(l*e j )(x) = (l*e j )(xiei )= e j (xilei )= xie j (lei ) =

= xie j (cik ek )= xicik e j (ek ) = xicik δkj = cij xi = cijei (x) ,

т.е. x X (l*e j )(x) = c jei (x) , l*e j = c jei .

i

Теорема 1.4. Пусть X – линейное пространство размерности m над полем R, Y – линейное пространство размерности n над полем

R, l : X →Y		– линейное отображение X в Y,			l* :	F →F		X	– со-
пряженное ему отображение FY в FX .						Y		X
пряженное ему отображение FY в FX .
Тогда	при	выборе произвольных	базисов		e1, ..., em		в		X * и
e1, ..., en	в Y * , взаимных базисам e , ..., e			в X и e , ..., e			в Y, спра-
		1	m		1	n

ведливо равенство:

26

		∑				∑ ai1...ik ei1 ... eik ,
l*		∑	bj1	... jk e j1 ... e jk	=	∑ ai1...ik ei1 ... eik ,
	1≤ j1 <...< jk ≤n					1≤i1<...<ik ≤m

где l(e ) = c je

j

, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, a

...i

= b

j

... j

c j1

... c jk .

i

Доказательство. Рассмотрим сначала

1

k

1

k

1

k

l* (e j1 ... e jk

)= l*e j1

... l*e jk ,

(4.3)

согласно выкладке примера 1.5 формула (4.3) примет вид

j1

e

i1

jk

e

ik

j1

jk

e

i1

... e

ik

=

(ci1

) ... (cik

)= ci1 ... cik

c j1

...

c jk

i

∑

1

ei1

... eik .

=

...

... ...

1≤i1<...<ik ≤m

c j1

...

c jk

i

k

Здесь было использовано утверждение 1.5 и дистрибутивность внешнего произведения.

Используя линейность отображения l* , получаем

l*

∑

bj1... jk e j1

... e jk

=

∑

bj1... jk l* (e j1 ... e jk )=

1≤ j1 <...< jk ≤n

c j1

...

c jk

i

∑

1

ei1

... eik

=

bj1... jk

...

=

1≤ j1 <...< jk ≤n

c j1

...

c jk

1≤i

<...<i ≤m

i

1

k

=

∑

ai1...ik ei1 ... eik ,

1≤i1<...<ik ≤m

обозначив через

a

...i

= b

j

... j

c j1 ...c jk

, 1 ≤ j

<... < j ≤ n ,

1 ≤ i <... < i ≤ m .

i

1

k

1

k

1

k

1

k

1

k

27

Г л а в а 2

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

В этой главе рассмотрим нужные определения и конструкции, которые используются при построении математических моделей физических ситуаций, связанных с геометрией пространства.

§ 5. Понятие топологического пространства

Определение 2.1. Пусть X – произвольное множество, в котором выделено семейство подмножеств A ={Uα} (элементы Uα

этого семейства называются открытыми подмножествами, или открытыми множествами в X), обладающих следующими свойствами.

1. Если i I Ui A , то Ui A , где I – произвольное мно-

i I

жество индексов.

2.Если U11 , ..., Uik A , то Ui1 ∩Ui2 ∩... ∩Uik A .

3.X , A .

Вэтом случае говорят, что множество X определено как топологическое пространство. Семейство A открытых множеств Uα X

называется топологией на X.

Таким образом, топологическое пространство определяется не только множеством X, но и топологией A ={Uα} на X. На одном и

том же непустом множестве можно задать много различных топологий. Понятие топологического пространства широко, поэтому чтобы получить интересные геометрии, на топологические пространства накладываются различные дополнительные ограничения.

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Пусть X – произвольное множество. В качестве семейства A, определяющего топологию на множестве X, возьмем

28

множество всех подмножеств в X. Ясно, что получим на X топологию. Такая топология называется дискретной.

Пример 2.2. Пусть X – произвольное множество; B – произвольное семейство подмножеств в X. Составим из подмножеств семейства B конечные пересечения, а затем всевозможные объединения. В итоге получим семейство подмножеств, которое определяет топологию на X.

Пример 2.3. Арифметическое пространство Rn – важный частный случай топологического пространства. Оно состоит из всевоз-

можных наборов (x1, ..., xn ) , где xi R , i = 1, 2, …, n. Определим в Rn топологию. Пусть ai , bi R , i = 1, 2, …, n, ai < bi . Множество

{(x1, ..., xn ) ai < xi < bi , i =1, 2, ..., n}

называется открытым кубиком. Подмножество B Rn является

открытым в Rn тогда и только тогда, когда B – объединение открытых кубиков. Это определение эквивалентно следующему.

Множество B Rn открыто в Rn тогда и только тогда, когда любую точку из B можно окружить открытым кубиком, содержащимся в B.

Проверим выполнение аксиом топологического пространства.

Первая аксиома. Пусть	Bj – объединение открытых кубиков,
j J , J – произвольное множество индексов.				По определению
Bj – открытое в Rn множество. Тогда Bj			–	объединение от-
		j J
крытых кубиков.
Вторая аксиома. Пусть B1, ..., Bk		– открытые множества. Пока-
жем, что B1 ∩ B2 ∩... ∩ Bk	открыто. Пусть произвольная точка
x B1 ∩... ∩ Bk . Тогда для любого i, i = 1, 2, …, k,					x Bi	найдется
такой открытый кубик Ki , что		x Ki и	Ki		Bi .	Положим

K= K1 ∩... ∩ Kk . Множество K – открытый кубик и x K . Третья аксиома может быть выведена из первых двух.

29

Определение 2.2. Пусть на множестве X введены две топологии τ ={B} и τ′ ={B′} . Скажем, что топология τ′ сильнее топологии τ

(τ′ ≥ τ) , если {B′} {B} .

Замечание 2.1.

1.Топологии могут быть несравнимыми.

2.На каждом непустом множестве имеются две самые крайние топологии.

Самая сильная топология – дискретная топология (пример 2.1).

Вэтой топологии все точки – открытые множества. В самой слабой топологии все открытые множества – это само пространство и пустое множество.

Определение 2.3. Две топологии τ1 и τ2 множества X называются эквивалентными, если τ1 ≥ τ2 и τ2 ≥ τ1 .

Пример 2.4. В пространстве Rn можно определить евклидову топологию, заменив открытые кубики на открытые шары с центрами в произвольных точках и произвольных радиусов. Евклидова топология и топология арифметического пространства эквивалентны. Это следует из того, что в любой открытый шар можно вписать открытый кубик и, наоборот, в любой открытый кубик можно вписать открытый шар.

Определение 2.4. Пусть X – топологическое пространство с топологией τ ={Uα} и пусть x X и Uα – открытое множество, та-

кое, что x Uα и Uα τ . Тогда Uα называется окрестностью точки x X . Часто окрестность точки x обозначают Ux и Vx .

Определение 2.5. Говорят, что последовательность {xn}+∞n=1 точек топологического пространства X сходится к точке a X , если для каждой окрестности Vα существует номер N, такой, что n > N выполняется условие xn Vα . В случае арифметического пространства

Rn данное определение приводит к обычной покоординатной сходимости. А именно: xm → a , m → +∞, тогда и только тогда, когда

xmi → ai , i = 1, 2, …, n, где xm = (x1m , ..., xmn ), a = (a1, ..., an ) .

Определение 2.6. Пусть X – топологическое пространство. Пусть M – произвольное подмножество в X. Можно M превратить в

30

Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Смотрите также: