Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

топологическое пространство, считая открытыми подмножествами в M следы открытых подмножеств из X.

Более точно множество V M открыто в M, если V = M ∩U , где U – открытое множество в X.

Ясно, что все аксиомы определения топологического простран-

Пример 2.5. Рассмотрим важный частный случай X = Rn . Отображение f : Rm → Rn задается набором функций

f i (x1, ..., xm ) = yi , i = 1, 2, …, n; f непрерывно в топологическом

смысле тогда и только тогда, когда функции yi = f i (x1, ..., xm ) , i = 1, 2, …, n непрерывны в обычном смысле.

Определение 2.9. Пусть f : X1 → X 2 , g : X 2 → X3 . Суперпозицией отображений f и g называется последовательное отображе-

31

крытое множество в X1 . Следовательно, (g f )−1(U ) – открытое множество в X1 .

Определение 2.10. Отображение f : X1 → X 2 топологического пространства X1 в топологическое пространство X2 называется гомеоморфизмом, если f взаимно однозначное (в этом случае существует обратное отображение f −1 : X 2 → X1 ) и как f, так и f −1

непрерывны.

Определение 2.11. Два топологических пространства называются гомеоморфными, если между ними существует хотя бы один гомеоморфизм.

Утверждение 2.1. Отношение гомеоморфности есть отношение эквивалентности на множестве всех топологических пространств. (Утверждение следует из определений отношения эквивалентности и гомеоморфизма.)

Пример 2.6. Взаимно однозначное и непрерывное отображение не является гомеоморфизмом. Пусть X1 – множество всех нату-

ральных чисел с дискретной топологией; X2 – множество рациональных чисел отрезка [0, 1] с топологией, индуцированной вложением X2 R1 . Топология на X2 не дискретна, следовательно, не все множества в X2 открыты, и поэтому топологические пространства X1 и X2 не гомеоморфны. В то же время X1 и X2 – счетные множества и между ними существует взаимно однозначное соответствие f : X1 → X 2 . Отображение f непрерывно, так как X1 – дискретное пространство.

§ 6. Аксиомы счетности и аксиомы отделимости

Для того чтобы излучение топологических пространств было содержательной задачей, на топологию накладывают те или иные дополнительные ограничения.

Приведем условия, которые ограничивают топологию сверху, т.е. не рассматриваем топологии, связанные с очень большим числом открытых множеств.

32

6.1. Аксиомы счетности

Определение 2.12. Семейство A ={B} открытых множеств

B X в топологическом пространстве X называется базой открытых множеств, если каждое открытое множество U можно представить в виде

U = B .

B A

Определение 2.13. Пусть X – топологическое пространство, а a X . Говорят, что в точке a имеет место первая аксиома счетности, если у этой точки имеется счетное (или конечное) семейство открытых окрестностей V1 , V2 , …, составляющее базу открытых

окрестностей данной точки. Это означает следующее: для любой открытой окрестности V точки a найдется такая окрестность Vi , что

Vi V .

Определение 2.14. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, если в любой точке этого пространства имеет место первая аксиома счетности.

Определение 2.15. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности, если существует счетная (или конечная) база открытых множеств пространства X.

Пример 2.7. В примере 2.3 в пространстве Rn открытые множества определялись с помощью базы, но эта база была несчетной. Ее легко превратить в счетную базу, если рассматривать открытые множества

{x(x1, ..., xn ) : ai < xi < bi , ai , bi Q, i =1, 2, ..., n} ,

где Q – множество всех рациональных чисел в R1 . Итак, Rn – про-

странство со счетной базой, т.е. Rn удовлетворяет второй аксиоме счетности.

Смысл первой аксиомы счетности состоит в том, что если последовательность {xn}+∞n=1 сходится к a при n →+∞ в топологиче-

ском пространстве X, то определение предела в произвольном топологическом пространстве надо проверять для любой открытой окрестности точки a; если же в точке a выполняется первая аксио-

33

ма счетности, то определение предела надо проверить только для базисных окрестностей.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. В топологическом пространстве со второй аксиомой счетности справедлива первая аксиома счетности.

Доказательство этой теоремы предоставляем читателю. Определение 2.16. Задано открытое покрытие топологического

пространства X, если выделено такое семейство открытых подмножеств {Uα} , α I , что X = Uα . Значение покрытий заключает-

α I

ся в том, что топология всего пространства может быть устроена довольно сложно, а локально ее тем не менее легко изучить. Сделать это иногда позволяет соответствующее покрытие.

Определение 2.17. Говорят, что покрытие {Vi }, i I , является подпокрытием покрытия {U j } , j J , если для любого индекса

Смысл второй аксиомы счетности раскрывает следующая теорема.

Теорема 2.3. При наличии в топологическом пространстве X второй аксиомы счетности из любого открытого покрытия {Vi },

i I , где I – произвольное множество индексов, можно выделить счетное подпокрытие V1 , V2 , … .

Доказательство. Так как X со второй аксиомой счетности, то в X есть счетная база открытых множеств B1 , B2 , B3 , … . По определению счетной базы топологического пространства для любого

покрытие пространства X. Выделим теперь из A счетное подпокрытие: Bi1 содержится в некотором V1 A , Bi2 содержится в некото-

ром V2 A и т.д. В итоге получим набор V1 , V2 , … открытых под-

34

множеств из A. Поскольку {Bik } – счетное семейство, то и {Vk } –

счетное семейство. Но так как {Bik } – покрытие пространства X, то и {Vk } – покрытие пространства X, так как Bik Vk . Среди тополо-

гических пространств выделяется интересный класс бикомпактных топологических пространств.

Определение 2.18. Пространство X называется бикомпактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Подмножество в топологическом пространстве называется бикомпактным, если оно бикомпактно как топологическое пространство с индуцированной топологией.

Пример 2.8. Отрезок [a, b] , a < b , – бикомпактное топологиче-

ское пространство.

Пример 2.9. Полуинтервал (0, 1] не является бикомпактным то-

Но бикомпактное топологическое пространство со счетной базой открытых множеств все еще недостаточно хороший объект для геометрии. Например, в таких пространствах последовательность

35