р
Й1С. 13. Схема погружения системы едшпп1кьгм рпстпгппающиьс напряжением
и бсссожчпостк
по.м напряжении, наиболее близкое к полю, образованному ансам блем.
Поле напряжений, образонапкое однородным включением, дает ся 1Ш0С1ИЫмп формулами [54]:
где |
радиус включения, аг, 0 |
$,тгб — известные иапряжепи |
|||||
решения краевой задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
Для случая упругого включения о матрице |
|
|
|||||
|
|
0 _ |
Я |
? " 1) |
с |
1 ^ |
1 |
1 |
2** + (к0 - 1 ) ,Р |
^ |
к + ! |
’ |
> + |
> ’ |
|
выключении |
|
|
|
|
|
|
|
|
То = 0, Д> = |
?(*+»? |
, |
?(" + ») |
|
||
|
2“ + ( « 0 - 1 ) ' ® |
>+ ^ « ' |
|
||||
|
|
|
|||||
гс0 = 3 —И^о,
к = 3 - 4у,
где Яо — модуль сдвига эффективного включения, я — модуль сдви га матрицы, г,0 — полярные координаты точки па плоскости, V — коэффициент Пуассона матрицы, ц» — коэффициент Пуассона Э||>- фехтивного включения.
В качестве левых частей системы (2) подставляем паприжени , вычисленные для ансамбля включении, и решаем систему уравне нии (2) относительно Я, 0,5 .
Из (3) следует, что /? = |
-2 6 |
, ко = 1 — |
^ ^ |
иц |
= |
Подставив р}([}Р ,у ^ в (2), получим систему \\ безразмерном виде: |
|||||
2«гг |
|
|
|
|
|
2*1 |
|
|
|
|
|
2 тгв = (Р + Й ^ Г Я " 70+ |
( ^ |
- ^ ) в‘ п(2^) + |
( ? |
36Л4 |
5|п(2 ^ )' |
- р ) — |
|||||
Обозначим через Л = 0Л2 . Я “ ЛЯ1, С = уП2, получим систему
Уравнений
= 2аг - ( р + ? ) + (д-р)соз20,
= 2 <г* - (р + ?) - ( 9 - р)соз2 0 ,
= 2<тг* - (7 - р) б5п 20. |
(^) |
д. $. Плоские хонтшуалъныс лмдели 1и иг исследование |
225 |
НИсистемы уравнений (5) найдсм Л, I), С, тогда
__ |
1 + 6 |
Ев _ |
до 1 + 6о |
|
ц |
1 6и1— |
Е |
д |
16+ |
, |
“ Р т + « - 1 ) |
|
* - 4 к , |
|
К о = 1 --------- ~ 1 ------ ■ |
*» = |
— 4 ~ ' |
||
Кок следует из (б), дли определения Л, Я, С и принципе до статочно задать значения ог,а^,аг9. Но, так как ансамблевое поле не является точным отображением ноля, производимого однород ным включением, поиск решения принимает статистический харак тер: для получения ипнлучшего приближения в качестве входных данных следует использовать достаточно большое количество рав номерно распределенных точек поля с последующим отысканием методом наименьших квадратов коэффициентов /1, В х С в липец ком уравнении (б). В расчете использовали точки, представленные иа рис. 14. Для услопиН рассматриваемой конкретно!! задачи (еле. рис. 13) исследуемый "ансамблевый11шестигранник оказывается за1МШШЦЦ однородным включением с радиусом Л = 6,07 и модулем Юш*Я/=3,84.
11.Размеры представительного ансамбля
Представительным будем называть ансамбль минимальных раз меров, эффективные свойства которого существенно нс измен яютел ври увеличении его размеров.
Определим зависимость эффективных упругих характеристик от размеров регулярного ансамбля при сохранении постоянного уров ня наполнения (в данном случае 50%). Рассмотренные варианты представлены иа рис. 15, где приведены соответствующие значения эффективного модуля Юнга. Полученный результат дает основание предположить, что ансамбль, насчитывающий 19 включений, можно принять ц качестве представительного.
У
Рис, 14. Реперные точки вист исто ноля
5.Эффективные и структурные характеристики ансамблей с регулярным расположением включений
Рассмотрим две основные геометрические структуры: трсуголь ную и квадратную. ОмеII]Iдно, что регулярность внутренней струк туры должна и принципе сопровождаться анизотропностью эффсктншюго поведения.
Изложенный выше метод определения эффективного модуля по реакции впевшего ноли предполагает, что круговой ансамбль частиц, ведет себя изотропно. Эффективны Имодуль такого ансамбля частиц не должен зависеть от направления пнешпей силы, действующе!! в матрице. Напротив, если исследуемый образец проявляет анизотро пию, то его эффективный модуль, вычисленный по изложенной дышс схеме, должен изменяться при изменении направления внешней силы. Исследуя зависимость эффективного модуля от угла поворо та внешней силы, можно получить представление о наличии анизо тропии внутри ансамбля. В тех случаях, когда анизотропия име ет место, оценку эффективного модуля целесообразно осуществлять
Количество |
|
|
37 |
|
вклочений |
|
|
О О О О |
|
|
|
|
||
|
|
|
ооооо |
|
ЭффШЮНыЪ |
_ |
|
О О О О |
|
3,84 |
3,78 |
|||
модульШПУЛЬ |
|
Рис. 15. График представитель постл ансамбли
чгреэосреднение по углу поворота. Такой эффективный модуль бу детоюбражатг» поведение системы, побранной из множества мелких анизотропных образований.
Исследуем эту особенность на примере квадратной структуры. 11а рис. 10 представлены три квадрата, из которых набирается три ансамбля по 16 включений в каждом. Промежутки между ьключе- 1ШИ1 равны соответственно 1 ,0; 0,5 и 0,4. Па удалении матрица на гружена но горизонтали единичным растягивающим напряжением. Период поворотной симметрии в этой конфигурации составляет 45 град. Изменение эффективного модуля, представленного как отноасиис текущего его значения Е$ к осреднсниоЙ но периоду поворота Клячине Еср, в зависимости от угла поворота показано на том же рисунке иод рассматриваемыми конфигурациями. Видно, что ани зотропия ансамбля начинает заметно проявляться (отклонение мак симальных значений от средней величины становится более 10%), коща промежуток между включения ми становится менее половины радиуса. При зазорах больше радиуса ихлючсннЙ она становится мало ощутимой,
13треугольных структурах н <|>орме шестигранников анизотропии выражена слабее и становится заметной лишь при более высоких на полнениях. В связи с изложенным эффективные модули в регуляр ныхструктурах вычислялись кпк усредненные но периоду поворота пели'ниш ЕСр.