Т* — тензор истинных напряжении, действующих па а-Н континуум (тензор папряжспнН Коши 1-го компонента смсч:и);
е< — массовая плотность внутренне!! энергии ё-го компонента срсды (виутреиняя анергия ё-го хоктинуума в малом элементе сре ды, отнесенная х массе этого континуума и указанном элементе);
—лектор теплового потока ё-го континуума;
Л— производство энергии в ё-м континууме за спет энергетиче ского обмена с другими компонентами смеси (передача энергии между элементами среды).
Суммируя законы сохранения массы всех континуумом, законы
сохранения импульсом и законы сохранения энергии, получаем за колы поведения смеси. Они представлены в табл. 2 . 1) формулах использованы величины: 5 — среднемассовая плотность энтропии смеси; Н, — срсднсм&ссосос производство энтропии в точках смеси; Ът{х — лотох энтропии. О таблице следующими символами обозна чены:
плотность смеси
N
е= X ) *» >
»=0
средисыассовая скорость движения смеси
носктельная скорость движения компонентов смесл
Ду* = у4- V ;
тензор действующих напряжении в смеси
т т*г г: X) (Тг - РАУ| • Дуг) ;
срсдиемассоная внутренняя энерги
Таблица 1 Парциальные законы поведения компонентов смеси
1. Закон сохранении массы каждого компонента смеси
V8
2.Закон сохранения нмпульси каждого компонента смеси
IIIV |
ё |
(е,Г|) 1НУ+ |
/ 8/ " ■ ( йг,у<) 1,8 = |
||
|
|
= Л В ' Е |
т ^ |
5 + III Ь™ |
|
|
|
|
^ 5 |
|
' у |
|
|
|
N |
0 |
|
|
|
|
Е '•■= |
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
3. Закон сохраЕЮНия энергии каждого компонента см |
|||||
IIIV I (р'е' |
+ |
5 * у' ,у4 |
^ |
+ |
|
+ / / |
11 |
( Л'е*у* + ? Л' (у>' |
у,‘) 1/5 = |
||
= / / / т ! ^ |
+ Л ( п . ? 1 ) - У 1 * 3 - I I ( п - ъ ) Л З |
||||
V |
|
|
8 |
|
я |
N
Е * = о
«=0
Таблица 2 Глобальны е законы поподоинп смеси континуумов
1.Закон сохранения массы смеси
/ / / я I . + / / " И " = °
Vа
2.Закон сохранении импульса смеси
/ / / |
ж (еу)1 лу + / / 1' ' ( еVV) ^ = / |
/ |
нз |
V |
5 |
5 |
|
3.Закон сохранения энергии смеси
/ / / Ж <«■"" + 5*у- Ч Л' +
V
+ / / п• (+ |
(у |
у) у) аз = |
5 |
|
|
= Ц (п • ТИ1Г) -V |
а з - ^ (11 <|т |г ) |
|
5 |
|
$ |
л. Второй закон термодинамики
/ / / Ж М г № + / / |
- СЕ |
«»*> <»5 = |
= / Л <1, Ы |
+ Л |
1.,„(г <13 |
V |
'* 5 |
|
<*, > 0
поток энергии между точками среды в результате тепло- и массолсрепоса
Чп><> - 2 (я< - Т,- • Д у; + те, Д у, + 1 ес (Д'Я Д уг) Д уг)
<=о
Дополнительным новым уравнением о табл. 2 является второИ закон термодинамики. I) отличие от других законов поведения сре ды, о литературе для нею предлагаются различные неэквивалент ные формулировки [13].
Дли решения конкретных задач необходимо раскрыть смысл вы ражении, описывающих термодинамические свойства. Требуется установить, хак они связаны с параметрам» состояния среды (тем пературок, деформацией, концентрацией компонентом к т. д.). При этом задание вида выражении должно быть объективным, удовле творять принципам;
1) детерминизма (состояние смеси определяется историей движе ния се компонентой);
2) локального действия (состояние среды в точке определяется только процессами около этой точки);
3)независимости свойств от системы отсчета;
4)равпопрнсутстлня (величина, присутствующая в качество неэааиевмой переменной и одном определяющем уравнении, присут ствует во всех остальных уравнениях, если только се появление нс
запрещено законами физики или условиями инвариантности).
1 .2 , Теория твердых растворов
П ряде случаев для описания процессов используется теория твердых растларои. Это частный случай приведенных выше зако нов (6, 1], 12, 16-17]. Полагается, что смесь образонана основным деформируемым континуумом (все величины, связанные с тем, бу дем нумеровать индексом коль) и N примесями (диффундирующими компонентами). 13 основу модели положены следующие укрощения.
1 , Масса примесей (диффундирующих компонентов) невелика:
Й й 0 |
(■»*= 1......АТ) |
Поэтому скорость движения деформируемою континуума практиче ски совпадает со среднемировой скоростью движения смеси:
Уо & V
2, Производная по Бремени от относительного импульса прене брежимо мала:
3. В теории вводятся понятия термодинамических сил и тер модинамических потоков. Испольэусггся гипотеза о линейной связи между ними для раскрытия конкретного физического смысла мате матических выражении.
В работе Бран кова и Раигедовой [И] предложена более общая формулировка теории для конечных деформации без использова ния понятии термодинамических сил и потоков. Понятие химиче ского потенциала диффундирующего компонента смеси считается □сходным и сразу входит в запись птарого закона термодинамики. С точки зрения первого из перечисленных упрощении, модель Бралкова к Рангелопой, безусловно, необходимо отнести к классу теорий твердых растворов. Однахо по идеологии анализа и получения ма тематических выражений она близка х теории Грина к Надхи.
1.3.Теория Грина и Надхи
Теория Ррнна и Падки предложена в 1905 г. [27]. Основные ес приложения рассмотрены в [20, 23, 28, 29, 33]. Главное отличие за ключается в следующем. Вместо парциальных законов сохранения массы, импульса н энергии для каждого компонента смеси в каче стве базовой посылки используется требование выполнения первого н второго законов термодинамики а любой инерциальной системе отсчета (табл. 3). Законы движения компонентов среды, неразрыв ности н теплопроводности получены в качестве следствии. Этот под ход мы кслользусм в дальнейшем. Полный вывод всех необходимых уравнений приводится ниже.