Постулаты теории Грина и Надхн |
|
Таблица 3 |
|||||
|
|
||||||
1. Закон сохранении энергии смеси |
|
|
|||||
|
|
N |
|
|
N |
|
|
У |
|
1=0 |
|
1=0 |
|
|
|
+ |
( [ |
и |
( е |
5 ^ |
Л П + X ) |
^ й |
• Л,>) т <) ^ = |
|
|
|
|
Г=0 |
1=0 |
|
|
= |
^ / |
<11 |
53 |
т () уг‘,;5 - |
$ |
(п ч ) м |
|
2.13гороП закон термодинамики {неравенство Клаузиуса — Дк>гс-
ш )
/ / / ! < ■ § И . " + |
5 " " ;') 4 5 > |
3, Инвариантность к выбору инерциальной системы отсчета (за мена в первом и втором законах термодинамики скоростей у; на скоросш + V*, где У0 — постоянный оектор, не должна приводить к их нарушению)
2. Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи
Приводимы №в этом разделе пыпод определяющих уравнении иоо производит выкладки, впервые осуществленные в работах [23, 27, 23], со следующими отличиями: 1) промежуточные преобразования п конечные результаты сформулированы кс н актуально!!, а в отсчетно!! коифигурации; 2) выражение свободной энергии эописит от главных удлинений деформируемого компонента (а не от градиен та радиуса-вектора перемещений). 13торо(1 момент не существенен, ко лучше его учесть сразу. Рассмотрим основные посылки теории к следствия из инх. $>го позволит перейти в дальнейшем к анализу свойств пластифицироианных эластомеров и явлений массообмсна.
2 ,1 . И спользуемы е обозначения
Опишем поведение среды, представляющей собой смесь дефор мируемого компонента (все величины, характеризующие его, имеют номер ноль) н ДОжидких компонент (все величины, относящиеся к ним, соответственно нумеруются от единицы до ДО).
Фиксируем символами 10 11,1* начальный, текущиИ и отсчеты II (произвольно выбранный между ними) моменты времени:
Термин "отсчетный" применительно к моменту используется в связи с тем, что все определяющие уравнения ниже будут сформу лированы в координатах г,, которые имели точки деформируемою компонента среды в момент Описание поведения смеси в коорди натах г* необходимо для построении эффективных алгоритмов реше ния практических задач (в частности для использования в расчетах модифициропанного метода Лагранжа [2]). Величинами г0 и г обо значим радиусы-векторы точек деформируемого компонента среды о пространстве соответственно и начальный (0 и текущий 2 моменты времени.
Безусловно, для анализа механического поведения среды необхо димо знать особенности протекания массообменных. процессов. Дня этого точки жидких континуумов нужно фиксировать и наблюдать
их дальнейшее движение. С этой келью используем далее понятие радвуса-пехтора г-, фиксирующего положения точек жидкого ком понента смеем с номером г и момент I. .
В приводимых иижс выкладках часто применяются тензоры |
|
||||
п |
|
0г(1,Га) |
|
|
|
Чо |
|
Ягв |
1 |
|
|
|
|
|
|||
Чл |
= |
ЙГп(^) Г#) |
<1 ) |
||
д*. |
1 |
||||
|
|
|
|||
« я |
= |
0г(1 , и ) |
|
(2 ) |
|
А-* |
* |
||||
|
|
|
|||
При их вычислении вектор г и первом равенстве рассматривается как функция аргументов С,г0. Но втором и третьем равенствах ве личины г0,1' представлены функциями аргументов <,1%.
Нам потребуютел в дальнейшем единичный тензор
Б - с,с*
Ноператоры градиента места, имеющие вид
V . |
II а |
|< ь |
|
|
? |
►д
V .** “ е* дх\
где г = я'с,*; г. =: **сч; с,- — базисные вехторы прямоугольной Дека|)Т0П0П системы координат.
В математических выражениях символы тензоров с верхними ин дексами - I и Т соответственно обозначают обратные и транспони рованные тензоры. Точка между тензорными или векторными вы ражениями применяется для обозначения операции свертки между ними. Нижний индекс, заключенный между символами < > около закрывающейся круглой скобки
( )<»> .
говорит об отсутствии суммировании по нему о выделенных скобках. В противном случае, если специально не указам знак суммирования
с границами изменения индекса
N |
АГ |
N |
N |
Е |
Е |
Е |
Е |
Г=0 |
■=] |
1=0 |
*-1 |
то суммирование должно производиться от единицы до трех. Индекс г у вертикально!! черты при взятии частной производной
по времени указывает на то, что стоящее п операторе
выражение представлено функцией аргументов {,г. 13 спою очередь отсутствие пертнкалыгоЛ черты с индексом при частной производной
подразумевает, что выражение (от которого берется частная произ водная) является функцией аргументов С,г*. По аналогии с этим индекс * и номер г у вертикальной черты указывают на то, что сто ящее о операторе
выражение представлено функцией аргументов |,г*.
Цель приводимых ниже оыкладок — формулировка всех требуе мых для решения задач уравнении а координатах 14 и практическое использование полученных выражений.
2.2.ПервыН захоп термодинамики и ого следствия
Перейдем к формулировке исходных выражении н анализу сле дующих из них оьшодоь. Рассматриваем среду как смесь взапмолропикающих деформируемого и N жидких континуумов.
Запишем первый закон термодинамики (закон сохранения виерпш) о виде
+ / / “ (X ) ««■у;+Х) ^ й (V, У() у*) <13 =
*Ч |
1—0 |
1=0 |
Т,-) - V* й5 - Ц (н .ч)«Ю
Считаем, что он выполняется для любого произвольно выделенного фиксированного в пространстве объема V в любой момент времени.
Скорость движения точек деформируемого континуума опреде ляется лропэводно!! по времени от раднуса-вехтора их координат
Уо = Шг(|>1'^ • |
(*) |
С помощью теоремы Гаусса — Острогрцдского перепишем первый закон термодинамики в виде суммы объемных интегралов
/ / / й < |> с‘ + |
+ |
|
+ I I I |
4 ( 2 *'е<у<+ X) ^ й (у« • у0 у.) Л' = |
|
= 1 Л |
* - ( Е т‘ -уо<и' - Щ |
ф -ч) ы |
Как отмечалось выше, данная связь справедлива д л я любого произ вольного объема V Следовательно, они может быть сформулирова на в дифференциал ьноИ форме
^ (]Е |
+ 12 5 «■ус уо| |
+ |
|
|
»=0 |
1=0 |
|
г |
|
. |
н |
ЛР . |
|
|
+ у ■( |
]С а « ,у ( + |
5 ^ |
■? г, |
(у, • у,) у,) = |
|
(=0 |
1=0 |
* |
* |
N
= 7 - ( Е Т , - т «) - V , .
1=0