Д ля осуществления дальнейших преобразовании требуется ис пользование третьегоииварианта тензора С$пт - Обоэпатим его символом /3 :
П = Ш я Т <Ы
С помощью раьснстп
справедливых для произвольного векторного поля Ь и скалярного поля перепишем зависимость (4) в виде
§: (53 '/Ч а ч + 53 5 |
У( у->+ |
|
|||
|
|
1=0 |
(=0 |
|
|
|
|
N |
|
АА(><-»о) + |
|
|
|
+ V •( 53 ч/ЧЧл-1 |
|
||
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
N |
, |
|
|
|
|
+ 2 |
ч«"' • 2 е‘ ^ ■у<><У| - у»)) |
= |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
= Ь • <53 |
\ Щ ч « - ' |
т ( . у,) - у (* /ч |
ч , г ‘ «о |
|
|
1=0 |
|
|
|
С помощью обозначений |
|
|
|||
|
|
|
= Ч / г 1 •О '(--уо) |
ДО |
|
получаем связь |
|
|
|
||
7Г , (53 ’/И е м |
+ 53 5 м^Чп V! • V.) + |
|
|||
01 |
1 |
1=0 |
1=0 |
|
|
“ |
|
|
|
||
|
+ V' (53 |
аа»; + 53 \ > /Ч а («( V.) V?) = |
|||
Д|. б. Пластификаторы а эластомерном матаруалб
* |
(л/5Чя"‘ -ч) + |
= у <53 у^<Ь_1-Тст.)- V |
|
»=0 |
|
лг |
|
+ V Щ ч/Ч <*к~‘ |
(8) |
Эю не что иное, кпк формулировка закона сохранения энергии в
координатах 1 , 14 •
Рассмотрим сразу физический смысл скоростей V* при значени ях величины г большего пуля. Покажем, что скорость V* есть не чю иное, как частит! производная по времени от раднуса-нектора г,,записанного и лиде функции координат 1, 1*7 при фиксированных значениях радиуса-вектора г?:
V? = ^ . ( « . ч ) ) [ с»)
Действительно, пыражем не г- иссгда можно переписать и виде
функции аргументов <, г: |
|
»( = |
- |
Следовательно,интересующая нас частная производная повремени имеет вид
Зг,(*,г) |
+ |
Аг,(е,г) |
.З г((,т ;)г |
( 10) |
|
81 |
“ Й |
8 1 |
1.‘ |
|
|
С учетом обозначения (2) и физического смысла скоростей |
|
||||
V, |
М |
Г |
|
|
|
|
01 |
I» |
|
|
|
пцражеине ( 10) переписывается п виде равенства |
|
|
|||
|
|
|
•V; |
|
0 4 |
Сами относительно себя точки деформируемого континуума менять положение не могут. В координатих, двигающихся имеете с дефор мируемым континуумом, их положение зафиксировано раз и навес» гда радиусом-вектором г.. Выполняется условие
0г*(1,г.)
81
При записи радиуса-вектор а г, в виде функция аргументов 2, г око преобразуется в связь
Д*.(<.Гр |
Дг.(*.1 ) | |
Лг. ((,.•) |
Зг(1,г .) |
д1 |
Й 1г |
От |
01 |
Используя физичсекиИ смысл скорости уо (3) и обозначение (2), получаем окончательную зависимость
Й~.(Е,г)| |
|
= о |
|
Й |
I + |
«гя-1 |
|
Следовательно, равенство (11) имеет вид |
|
||
Щ ('М М ,') ) |. |
= Ч л _1 ’ (*« ~ уо) |
||
н доказано утверждение (9).
Такнм образом, скорость у? представляет собой скорость движе ния 1-го континуума в пространстве координат г*. По координаты 14 нанесены на точки деформируемого компонента смеси и двигают ся вместе с инн. Величина V,* фиксирует относительную скорость движения жидкости через деформируемый континуум и показыва ет» насколько быстро она протекает или диффундирует сквозь него. Так как все величины и уравнения записываются о координатах, нанесенных па точки деформируемого компонента смеси, то и ско рость относительного движения жидкого континуума формулирует ся о них. Естественно, что физический смысл величины у} сохра няется и для значения индекса 1, равного нулю. В соответствии с формулой (7)
У1 = о .
Точки деформируемого континуума относительно нанесенных на не го координат двигаться не могут.
Учтем следующее утверждение. Первый закон термодинамики должен выполняться и любой инерциальной системе отсчета. При этом равномерное поступательное движеп ио начала координат ника ким образом не должно отражаться га значениях плотностей масс 04, плотностей внутренней энергии 64, тензоров напряжений Т*, ко личественной характеристики степени деформирования материала
()д п значениях теплового потока с|. Данное утверждение можно сформулировать иначе. Добавление равномерного поступательного движении всем точкам материала не должно приводить к наруше нию мод записи первого закона термодинамики и изменять значе ния перечисленных характеристик состояния среды. Это естествен ное требование иле чет за собой лажные следствия. Рассмотрим их. Но вначале дадим точную математическую формулвфовку выска занного требования.
Добавим веем точкам среды равномерное поступательное движе ние со скоростью у$. Учтем тот факт, что скорости у} при этом измениться не могут. Пмражение (8) примет вид
= |
Т ‘ ' (»о + * . ) ) - |
- V |
+ |
|
(12) |
Считаем, что оно выполняется для любого произвольно заданно гозначения векторлоИ постоянной у0. Это наша отправная гипотеза. Преобразуем связь. Сгруппируем слагаемые в равенстве (12) отиоенгельпо степеней вектора уф:
+ |
( |
4 |
( |
2 |
ч / Ч а у |
<) + |
7у/Пч*1ъ)( 2 |
- |
|
|
\ |
44 |
.=Э |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
- |
7 ( 2 \ / 5 Ч я " 1 -Т |) |
V* + |
|
|
|||||
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
+ ( |
^ |
С2 |
ч/Я»«< + 2 |
^ ч/7Г« ■»•• • у«> + |
|
||||
|
\ |
У |
1=0 |
|
г=о |
|
|
|
|
|
|
|
/V |
|
ЛГ . |
|
|
|
|
+ |
|
V |
( 2 |
|
ч /Ч Й * 1у ? + |
2 |
2 ч / Ч И (у < • у 0 у |
||
- |
|
|
к |
|
|
|
|
С^1 ч) - |
|
V ( 2 V5* Чл"‘ Ъ ■уо) + V |
|||||||||
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
- |
|
V |
( 2 |
|
ч / Ч < 5 я - ' |
Т 1 - ( У 1 - У , ) ) ^ = О |
|||
В прнвсдегой записи выражение у -У( обозначает тензор второго ран га, образованный внешним произведением векторов V* и V,.
Новые зависимости могут быть получены из равенства (13) путем
дифференцирования его по лектору |
соответственно один |
|
|||||||||
|
^ |
|
( 5 2 |
ч / ^ й ) + |
V • ( 2 а ч / чV» + |
|
|||||
+ |
( |
4 |
( 2 |
ч /й * |
VI) + |
V • ( 2 |
ч/Ч а |
у ,*у<) |
- |
||
|
V |
(=о |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
- |
|
V |
( 2 |
ч / Ч < 5 л '‘ |
Т ( ) ) |
Е |
= |
О |
|||
|
|
|
1=0 |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
и два раза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( * |
( |
2 |
ч ^ й ) + 7 |
( 2 |
^ |
а |
у; ) ) Б = |
о. |
(И) |
||
Они имеют просто)! физический смысл. Рассмотрим его.