'^ебоианне (15) представляет собой формулировку п координа тах 1,г. закола сохранения массы:
|
|
= О, |
|
1=0 |
|
где символвди т ? обозначены выражения |
||
п,о |
= |
доГ ( у/^Во ) I |
= ^ ( \ / 7 # л ) |
+ |
V {\/Ч в 1 У 1 ) (• = >..... * ) - |
При записи выражения для |
учтен факт равенства, нулю вектора |
|
''о- Величины ш* представляют собоЛ скорости производства массы соответствующего компонента смеси в точках среды. Нас интересует случаи отсутствия химических реакции и материале. Поэтому долее ми будем полагать все величины т] равными нулю. Но это нс что иное, как требование выполнения равенств
ж |
= |
|
^ |
) |
= 0 - |
^ |
+ |
V |
(« ?* ,* ) |
= |
|
|
= |
% 1 у / П * ) |
+ * •< |
\ ^ » « г ) = 0 . (»> о). (1Г) |
|
Величины р} — |
имеют физически Исмысл плотностей конти |
||||
нуумов п точках среды (бесконечно малых объемах)» двигающихся Имеете с деформируемым компонентом смеси. Условие (16) означает Зребошшкс независимости величины рд от времени I:
«; = у/Ц » = Й(г.) |
(18) |
Точки деформируемого континуума неподвижны в координатах, дви гающихся вместе с этим континуумом» и перераспределить спою мас су относительно указанных координат нс могут. В спою очередь вы ражения (17) представл»ют собой условия сохранения массы жидких компонент смеси.
Связь (14) с уметом законов сохранения массы (17), (18) ирщ,^ мает вид условия
1=0 |
X) уД1« ' V Ч - |
4=1 |
Т - < Е * /Б Ч д _ , -Ъ > = 0
С помощью тождества Пиона
V • |
Ч л -1) = 0 |
(19) |
и справедливого для любых тензоров Л и В равенства
V - (А • В) = (V А) В + А т V »
ома приводится к хорошо известному в механике ицду
*
Е а * | - ^ т Г ' - ’ Т = » . (20) «=а
Это уравнение движения среды. Символом Т обозначен тензор на пряжений, действующий в точках среды. Он складывается из на пряжений, действующих на компоненты смеси:
N
т |
= е |
т‘ • |
|
||
|
|
г=о |
|
|
|
Величины |
Лу,' |
|
* |
|
|
«ч = |
+ |
(21) |
|||
- ^ - |
V) • V V, |
||||
являются ускорениями соответствующих континуумов. Покажем это. Ускорение 1-го компонента смеси вычисляется по формуле
При записи скорости движения у; в виде функции аргументов 1,1*. с утегом (0) выражение (22) преобразуется к виду
|
|
ву,({,г.) |
|
5г.(1,г?)|* |
|
|
- |
т |
5г. |
|
01 |
1. |
|
_ |
5 у , ( * , и |
5у,(«,1*,) |
|
_ |
дV^ |
|
|
01 |
5г. |
|
|
01 |
|
что и требовалось показ;г |
|
|
|
|
|
|
Вподя но01.1с оболгам |
|
|
|
|
|
|
|
Ь = Й * 1 - ( Ч |
Л |
' - ^ т , , |
(23) |
||
уравнение движения среды (20) можно переписать в виде |
|
|||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
Е '< = |
0 • |
|
|
|
|
|
1 =0 |
|
|
|
|
Заинсимости (23) представляют собоИ законы двнжени |
|
|||||
тов смеси |
= |
(Ч л Т 1 |
• V Т| |
+ Г( , |
(24) |
|
|
||||||
в которых величины Г, имеют смысл сил взаимодействия ее компо нентов друг с другом.
На основании равенств (14), (15), с учетом законов сохранения массы (17), (18) в зависимости (13) ненулевыми будут только следу ющие слагаемые:
ф = Е |
х / ' Г й ^ |
( « < + 5 К |
• V .-)) + |
с=о |
|
|
|
+ Е |
\ Д Г |
? ( « . + |
5(у ( * < ) ) - |
1=1
- 1Р - ( ч/ « « я - 1 Т . уо) + 7 - ( ' / Ч Ч * - , ч ) -
- Ч - ф у / П а п ' - Т , ( у , - у 0) ) = О
Выпнслциос выражение можно дальше упростить, раскрывая произ водную по времени от свертки V <V, используя условие (19}, опреде ление (21) к тождество
|
У - ( А . уо) = (V |
А) • уо + А |
V у0 |
(25) |
||||
В результате получаем связь |
|
|
|
|
|
|||
Е |
* ( ^ |
+ V , - . * * ) |
+ 5 > « , |
V , . - |
|
|||
|
|
|
|
|
г=о |
|
|
|
|
- |
( а ЛТ) " 1- - 7 Т . у 0 |
- ( р я - ' |
т ) |
V » , |
- |
||
|
- Е Ч л " 1 т <• • 7 ^ » - г о ) т - |
|
|
|
||||
|
|
»=1 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
Е ( |
<*П Т Г ‘ |
|
( V , - Г о ) |
+ |
|
|
|
+ |
(ЧлТ)~1 • • V *| |
= |
о, |
|
|
|
|
которая с помощью условий (20), (24) приводится к виду |
|
|||||||
Е * ( т ? + * $ * ) + Е г- |
|
|
|
|||||
- |
( Ч д - ' - т ) - - Ч у * |
- |
Е <*л"1-Т < ,‘ ^ ( ,г«--»*)Т + |
|||||
|
' |
|
1 |
|
.*=1 |
|
|
|
+ ( Р л т Г 1 - ? ч = 0 . |
|
|
|
|
||||
Используя преобразование |
|
|
|
|
|
|||
|
|
^ Ув |
— От. \Д11 |
|
|
|
|
|
н обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□ . |
= |
|
|
|
|
|
(М> |
запишем окончательную формулировку закона сохранения энергии:
|
|
|
О п - |
- т |
^ |
д л- ‘ - т , - V (V* - у . ) 7’ |
+ |
+ (Р«'Г)_1 • • 7 Ч |
= 0 - |
(27) |
|
Для получекни дальнейших лыподов требуется использование вто рого закона термодинамики. Рассмотрим его.
2.3.Второй закон термодинамики кк его елвдетиия
Вес процессы в системе возможны только при самопроизволь ном роете или неизменности объемной плотности энтропии смеси. Уменьшение ее происходит лишь лод действием окружающей сре ды (за счет отвода из материала тепла). Мы используем далее в качестве формулировки второго закона термодинамики неравенство Клаузиуса — Дгагема
где *,• — массовая плотность энтропии мт> континуума; 0 — темпера тура смеси. Естественно, что это неравенство должно выполняться для любого фикс проваиного объема V , Следовательно, справддли- № дифференциальная его формулировка (получаемая с помощью формулы Остроградского — Гаусса):