Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Y ( p) = − 1p + p12 + p2+1 .

По табл. 13.1 по изображениям восстанавливаем оригиналы и получаем

y(x) = −1 + x + 2e−x .

Таблица 13.1

№

Ориганал f(x)

Изображение F ( p) = ∞∫

f (x) e− px dx

eαx

p − α

sin ωx

p2 +ω2

cosωx

p2 +ω2

sh ωx

p2 − ω2

ch ωx

p2 − ω2

eαx sin ωx

( p − α)

+ ω

eαx cos ωx

p −α

( p − α)2 + ω2

eαx sh ωx

( p − α)2 −ω2

eαx ch ωx

p − α

( p − α)2 −ω2

xn (n − целое)

pn +1

eαx xn

( p − α)

n+1

Окончание табл. 13.1

№

Ориганал f(x)

Изображение F ( p) = ∞∫

f (x) e− px dx

x sin ωx

2ωp

( p2

+ ω2 )2

x cos ωx

−ω2

( p2

+ ω2 )2

x sh ωx

2ωp

( p2

−ω2 )2

x ch ωx

+ω2

( p2

−ω2 )2

xeαx sin ωx

2ω( p − α)

(( p −α)

+ ω )

αx

cos

( p − α)2 −ω2

(( p −α)2 + ω2 )2

sin (ωx ± ϕ)

ωcos ϕ± p sin ϕ

+ ω2

cos (ωx ± ϕ)

p cosϕ ωsin ϕ

+ ω2

Пример 13.2. Решить интегральное уравнение с помощью преобразования Лапласа

			y(x) = 5 ∫x		sin (x −t) y(t) dt + 4 .
				0
Решение. В данном уравнении f (x) = 4							,	K (x) =sin x , λ = 5 . То-
гда f (x)	4	,	K (x)	1		. Пользуясь		свойством линейности
гда f (x)	p	,	K (x)	p2 +1		. Пользуясь		свойством линейности
	p			p2 +1

преобразования Лапласа и теоремой о свертке, получаем следующее операторное уравнение

Y ( p) = p25+1 Y ( p) + 4p ,

откуда

= 4 ( p2 +1) Y ( p) p ( p2 −4) .

Разлагая дробь, стоящую в правой части на сумму простейших дробей, получаем

Y ( p) = − 1p + 25 p 1− 2 + 52 p 1+ 2 .

По табл. 13.1 по изображениям восстанавливаем оригиналы и получаем

y(x) = −1 +	5	e2 x +	5	e−2 x = −1 +5	e2 x + e−2 x	= −1 +5 ch 2x .
	2		2
				2

Пример 13.3. Решить интегральное уравнение с помощью преобразования Лапласа

∫x	sh (x −t) y(t) dt = x3e−x .
0

Решение. Данное уравнение представляет собой интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода. Имеем f (x) = x3e−x , K (x) =sh x .

Пользуясь теоремой о свертке, получаем следующее операторное уравнение

Y ( p) =

p2 −1

( p +1)4

откуда

Y ( p) =3!

p2 −1

=3!

p −1

( p +1)4

( p +1)3

Разлагая дробь, стоящую в правой части на сумму простейших дробей, получаем

Y ( p) = 3!	1			−	2
								.
	( p +	1)	2		( p +	1)	3	.
	( p +	1)			( p +	1)

По табл. 13.1 по изображениям восстанавливаем оригиналы, получаем

y(x) =3!(xe−x − x2e−x )= 6x(1 − x)e−x .

Интегро-дифференциальным уравнением называется уравнение,

которое содержит неизвестную функцию как под знаком интеграла, так и в виде производных, причем производные могут входить и в подынтегральное выражение. Интегро-дифференциальные уравнения с разностным ядром K (x, t) = K (x −t) также могут быть реше-

ны операторным методом. При этом используется свойство дифференцирования оригинала преобразования Лапласа, согласно кото-

рому производные y′(x) , y′′(x) , …, y(n) (x) вычисляются по формулам:

y′(x) pY ( p) − y(0) ,

y′′(x) p2Y ( p) − py(0) − y′(0) , …,

y(n) (x) pnY ( p) − pn−1 y(0) − pn−2 y′(0) −... − py(n−2) (0) − y(n−1) (0) .

Из данных формул следует, что для получения однозначной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений, в отличие от интегральных, необходимо задать начальные условия y(0) , y′(0) , …,

y(n−1) (0) .

Пример 13.4. Решить интегро-дифференциальное уравнение

y′(x) = ∫x	(x −t) y(t) dt −1 , y(0) =1.
0

Решение. Пользуясь теоремой о свертке, свойством дифференцирования оригинала преобразования Лапласа и учитывая начальное условие, получаем операторное уравнение

pY ( p) −1 = p12 Y ( p) − 1p ,

откуда Y ( p) =	p
		.
	p2 + p +1

Преобразуем правую часть, разложив ее на подходящую сумму простейших дробей. Получаем


		p					p +		1					1
Y ( p) =		p			=		p +		2			−			2				.
Y ( p) =		1 2		3	=		1 2			3	2	−		1 2			3	2	.
	p +		+	4		p +		+					p +			+
	p +		+			p +		+		2			p +			+	2
		2					2			2				2			2

По табл. 13.1 восстанавливаем решение исходного интегродифференциального уравнения:

y(x) = e−x/ 2		3		1		3
	cos		x −		sin		x .

		2		3		2

Пример 13.5. Решить интегро-дифференциальное уравнение

y′′(x) + ∫x	e2( x−t ) y′(t) dt = e2 x , y(0) =0 , y′(0) =1 .
0

Решение. Пользуясь теоремой о свертке, свойством дифференцирования оригинала преобразования Лапласа и учитывая начальные условия, получаем операторное уравнение

p Y ( p)

−1 + pY ( p)

p − 2

откуда

p −1

Y ( p) =

p3 −2 p2 + p

p ( p −1)

Отметим, что по теореме о свертке

′

∫ e

2 ( x−t )

y (t) dt

pY ( p) ,

p − 2

так как y(0) =0 . Разлагаем правую часть на сумму простейших дробей и получаем

Y ( p) = − 1p + p1−1 .

По табл. 13.1 восстанавливаем решение исходного уравнения: y(x) = −1 + ex .

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "