Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016
Глава 3. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 14. Задача Штурма–Лиувилля. Определение функции Грина.
Два метода построения функции Грина
Пусть дано дифференциальное уравнение 2-го порядка
|
d |
dy |
+ (λr + q) y = 0 , x [a, b] , |
|
||
|
|
p |
|
|
(14.1) |
|
|
|
|
||||
|
dx |
dx |
|
|
||
где функции q(x) , |
r(x) |
непрерывны на [a, b] , причем |
p(x) > 0 , |
|||
r(x) >0 на [a, b] , а функция p(x) непрерывно дифференцируема на [a, b] , и краевые условия
|
|
|
R ( y) ≡α |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y(a) +β y (a) = 0; |
(14.2) |
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
R2 ( y) ≡α2 y(b) +β2 y′(b) = 0, |
|
|||||
где α |
, β |
i |
– заданные числа, α2 |
+β2 |
> 0 , i = 1, 2. |
|
|||
i |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
Задача о нахождении собственных значений и собственных функций однородной краевой задачи (14.1), (14.2) называется зада-
чей Штурма–Лиувилля.
Если λ = 0 не является собственным значением краевой задачи (14.1), (14.2), то дифференциальное уравнение
|
d |
|
dy |
|
|
|
L( y) ≡ |
|
p |
|
|
+ qy = 0 |
(14.3) |
|
|
|||||
|
dx |
dx |
|
|
||
и краевые условия (14.2) образуют краевую задачу, которая имеет только нулевое (тривиальное) решение y(x) ≡ 0 .
Функцией Грина (функцией влияния) краевой задачи (14.3), (14.2)
называется функция G(x, ξ) , построенная для любой точки ξ, a < ξ<b , и имеющая следующие четыре свойства:
66
1) G(x, ξ) определена и непрерывна на основном квадрате
[a, b]×[a, b] ;
2) на диагонали основного квадрата, т.е. при x =ξ , ξ (a, b) , производная Gx′(x, ξ) имеет разрыв 1-го рода, причем скачок равен
1 , т.е. p(ξ)
Gx′(ξ+0, ξ) −Gx′(ξ− 0, ξ) = − p1(ξ) ,
где Gx′(ξ+0, ξ) и Gx′(ξ−0, ξ) – соответственно правая и левая од-
носторонние производные по x;
3) G(x, ξ) как функция переменной x имеет при a ≤ x <ξ и
ξ< x ≤b непрерывные производные до 2-го порядка включительно
иудовлетворяет однородному уравнению (14.3);
4)G(x, ξ) как функция от x удовлетворяет при ξ (a, b) крае-
вым условиям (14.2).
Существуют два метода построения функции Грина. Рассмотрим их для дифференциального уравнения 2-го порядка
L( y) = |
d |
|
p |
dy |
+ q y = 0 , x [a, b] , |
(14.4) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
dx |
|
dx |
|
|
||
с краевыми условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(a) =0 , y(b) =0 . |
(14.5) |
||||
1-й метод. В общем решении дифференциального уравнения (14.4) не удается выделить два л.н.з. решения y1 (x) и y2 (x) , одно из которых удовлетворяет краевому условию y1 (a) =0 ( y1 (b) ≠ 0 ),
адругое – условию y2 (b) = 0 ( y2 (a) ≠ 0 ).
Вэтом случае формально записывается выражение для функции
Грина в виде, аналогичном общему решению. Функция Грина G(x, ξ) находится с учетом:
а) непрерывности G(x, ξ) в точке x =ξ ;
б) скачка Gx′(x, ξ) при x =ξ ; в) краевых условий (14.5).
67
2-й метод. Удается в структуре общего решения выделить два л.н.з. решения y1 (x) , y2 (x) , которые удовлетворяют краевым ус-
ловиям y1 (a) =0 , y2 (b) = 0 . Функцию Грина в этом случае можно вычислять сразу по формуле
y |
(x) y |
2 |
(ξ) |
, |
a ≤ x ≤ ξ; |
||
|
1 |
|
|
||||
p(ξ)W |
(ξ) |
||||||
|
|
(14.6) |
|||||
G(x, ξ) = |
y |
(ξ) y |
|
(x) |
|
||
|
|
, |
ξ ≤ x ≤ b, |
||||
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
||||
p(ξ)W |
(ξ) |
|
|
||||
|
|
|
|||||
где W (ξ) =W [y1 (x), y2 (x)]x=ξ – определитель Вронского решений
y1 (x) , y2 (x) уравнения (14.4) на [a, b] . Отметим, что если краевая задача (14.3), (14.2) имеет только нулевое решение y(x) ≡ 0 , то
функция Грина существует и единственна.
Пример 14.1. Установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если существует, то построить ее
y′′= 0; |
|
(14.7) |
|
|
′ |
y(1) = 0. |
|
y(0) |
= y (0), |
|
|
Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для однородной краевой задачи (14.7). Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение имеет решение y(x) = Ax + B .
Краевые условия дают два соотношения для определения A и B:
y(0) = B = y′(0) = A;y(1) = A + B = 0,
откуда A = B = 0 , т.е. краевая задача (14.7) имеет только нулевое решение: y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна.
Допустим, что не удалось выделить два л.н.з. решения y1 (x) и y2 (x) , одно из которых удовлетворяет краевому условию y1 (0) =0 , а другое – условию y2 (1) =0 . Тогда согласно 1-му методу выраже-
ние для функции Грина записывается в виде, аналогичном общему решению дифференциального уравнения:
68
|
a x + a |
, 0 ≤ x ≤ ξ; |
||||
|
G(x, ξ) = |
1 |
2 |
|
|
|
|
b1 x +b2 , ξ≤ x ≤1. |
|||||
Из непрерывности G(x, ξ) (свойство 1) при x =ξ получаем |
||||||
|
a1ξ+a2 =b1ξ+b2 , |
|
||||
а скачок Gx′(x, ξ) |
в точке x =ξ |
равен |
1 |
=1 (свойство 2), так что |
||
|
p(ξ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b1 −a1 =1 . Полагая b1 −a1 = c1 , |
b2 −a2 |
= c2 , имеем |
||||
b − a =1; |
|
|
или |
с =1; |
||
1 |
1 |
|
|
1 |
||
−(b1 − a1 )ξ−(b2 − a2 ) = 0, |
|
|
|
−c1ξ−c2 = 0, |
||
откуда c1 =1, c2 = −ξ.
Воспользуемся свойством 4 функции Грина, а именно тем, что она должна удовлетворять краевым условиям
G(0, ξ) = Gx′(0, ξ);G(1, ξ) = 0.
Тогда
a2 = a1 ;
b1 +b2 = 0.
Так как ck =bk −ak (k = 1, 2), то получаем систему уравнений
b1 − a1 =1;
b2 − a2 = −ξ;
a2 = a1 ;b1 +b2 = 0,
откуда
b1 − a1 =1;
b1 + a1 = ξ,
т.е. b1 = 12 (1+ ξ) , a1 = 12 (ξ−1) . Таким образом,
69
a = a |
|
= |
1 |
(ξ−1) , |
|
b |
= |
1 |
(ξ+1) , |
b |
= − |
1 |
(ξ+1) , |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (ξ−1) (x +1), |
0 ≤ x ≤ ξ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x, ξ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
(ξ+1) (x −1), |
ξ ≤ x ≤1. |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14.2. Установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если существует, то построить ее
y′′− y = 0; |
|
(14.8) |
|
|
= y(1) |
= 0. |
|
y(0) |
|
||
Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для однородной краевой задачи (14.8). Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение имеет решение
y(x) = C1ex +C2e−x = C1 sh x +C2 ch x .
Краевые условия дают два соотношения для определения C1 и C2 : y(0) =C1 sh 0 +C2 ch 0 =C2 1 = 0 ,
так как sh 0 = 0 , ch 0 =1; y(1) =C1 sh1+C2 ch1 = 0 . Получаем систему уравнений
C2 = 0;
C1 sh1+C2 ch1 = 0,
откуда C1 =0 (так как sh1 ≠ 0 ), С2 = 0 , т.е. краевая задача (14.8) имеет только нулевое решение: y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна.
Решение y1 (x) =sh x удовлетворяет краевому условию y1 (0) =0 , а решение y2 (x) =sh (x −1) удовлетворяет краевому условию y2 (1) =0 , причем эти решения являются л.н.з.
Тогда согласно 2-му методу найдем значение определителя Вронского для y1 (x) =sh x и y2 (x) =sh (x −1) в точке x =ξ :
70