Материал: Тема-2
101 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
- ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю
|
|
n |
|
|
|
|
T |
zu |
zij ziu |
0 |
( j, u 0, 1,..., m |
u |
j); |
z j |
||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
- нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы
равно n ( |
n 2 |
m |
в ПФЭ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
T |
z j |
2 |
n |
( j 0, 1, ..., m). |
|
|
|
z j |
zij |
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Благодаря перечисленным оптимальным свойствам матрицы планирования информационная матрица в ПФЭ при m=2 равна
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
102 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
~ |
|
|
~ |
|
T |
~ |
|
|
|
|
T |
|
n |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Z |
|
|
0 |
n |
0 |
|
, |
3 3 |
|
|
3 4 |
|
|
4 3 |
|
|
3 4 |
|
4 3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n |
|
|||
т.е. она является диагональной с одинаковыми элементами на главной диагонали, равными n = 22 = 4.
Соответственно, корреляционная матрица C |
также будет диагональной и с |
одинаковыми элементами главной диагонали: |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
n 1 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C |
|
|
|
Z Z |
|
0 |
n |
|
0 |
|
||||||||||
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
n 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
103 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Результатом подстановки последних соотношений в матричную формулу для определения кодированных коэффициентов регрессии будет простая формула:
~ |
n |
|
|
эксп |
n , |
j 0, 1, ..., m |
|
a j |
zij yi |
||
|
i 1 |
|
|
При учёте взаимодействия двух факторов регрессии принимает вид:
z |
1 |
|
и
z |
2 |
|
кодированное уравнение
ˆ |
~ |
z |
|
~ |
|
~ |
z |
|
~ |
z z |
|
||
y a |
0 |
0 |
a z |
a |
2 |
2 |
a |
2 |
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
12 |
1 |
|||||
и в матрицу планирования |
z |
включается ещё один дополнительный последний |
|||||||||||
|
|||||||||||||
столбец, каждый элемент которого равен произведению элементов столбцов, соответствующих взаимодействующим факторам:
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
104 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||
|
|
10 |
11 |
12 |
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
1 |
1 |
1 |
||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 4 |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
30 |
31 |
32 |
31 |
32 |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
1 |
1 |
1 |
||||
|
|
40 |
41 |
42 |
41 |
42 |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При этом матрица планирования сохраняет все три оптимальных свойства – симметричности, ортогональности и нормировки, а кодированный коэффициент уравнения регрессии при члене, характеризующем взаимодействие факторов, определяется по формуле:
~ |
n |
|
|
|
эксп |
n, |
j, u 1, ..., m |
u j |
|
a ju |
zij ziu yi |
|||
|
i 1 |
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
105 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В теории ПФЭ доказывается, что при увеличении числа факторов (m>2) матрица
планирования |
z |
строится с использованием рассмотренной методики, в том |
|
числе и с учётом взаимодействия факторов (не только двойного, но и тройного, четверного и т.д.).
В этом случае число столбцов матрицы p зависит от числа учёта взаимодействий
факторов |
(n 2m ) |
и матрица планирования сохраняет перечисленные |
оптимальные свойства.
Поэтому для определения кодированных коэффициентов регрессии используются приведённые выше формулы.
Для расчёта натуральных значений коэффициентов в кодированное уравнение
регрессии вместо кодированных факторов |
z |
j |
j 1,...m |
следует подставить |
|||
|
|
||||||
выражения для последних через натуральные значения факторов |
x |
j |
j 1,...m |
||||
|
|
||||||
в соответствии с приведённой выше схемой кодирования.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |