Материал: Управление сложными социально-экономическими системами. Мищенко В.Я., Баркалов С.А

6х₁ + 4х₂ = 2100

-6х₁ – 4х₂ = -1100

2х₁ + 4 х₂ = 1900

-2х₁ – 4х₂ = -950

Построим линию уровня целевой функции (Рис.1.).

0,14525x₁ + 0,385x₂= 0

Н айдем координаты точки x_max (Рис.1.) – точки пересечения прямых:

х₁ = 0

2х₁ + 4х₂ = 1900

4х₂ = 1900

х₂ = 475

х _max = (0; 475)

F₀max = 0,14525· 0 + 0,385 · 475 = 182,875

Целевая функция второй модели выражает все затраты за неделю, которые минимизируются:

F₂ = 0,0805x₁ + 0,3x₂ + 25,7 → min

Построим линию уровня целевой функции F₂. (Рис.1.)

0,0805x₁ + 0,3x₂ + 25,7 = 0

Найдем координаты точки x_min (Рис.1.) – точки пересечения прямых:

6 x₁ + 4x₂ = 2100

-2x₁ – 4x₂ = -950

4x₁ = 1150

x₁ =287

4x₂ = 2100 – 6 · 287

4x₂ = 375

x₂= 93

F₂min = 0,0805· 287 + 0,3 · 93 + 25,7 = 23,14 + 28, 13 + 25,7 = 76,97

X min

Рис. 1.

Выразим предполагаемые чистые доходы компании как разность ожидаемой выручки и ожидаемых совокупных затрат, то есть F₁ = F₀ – F₂.

F₁ = 0,14525x₁ + 0,385x₂ – (0,0805х₁ + 0,3х₂ + 25,7) = 0,14525х₁ + 0,385х₂ – 0,0805х₁ – 0,3х₂ – 25,7 = 0,06475х₁ + 0,085х₂ – 25,7.

Эквивалентная замена дробно-линейной модели

на линейную модель.

Целевая функция третьей модели является нелинейной и рассчитывается как отношение чистого недельного дохода ко всем затратам, приходящимся на эту неделю.

F = = → max

Сведем эту задачу к эквивалентной задаче линейного программирования с помощью замены переменных.

= t₀,t₀ 0

x₁ · t₀ = t₁, x₂ · t₀ = t₂

6х₁ + 4х₂ ≤ 2100

-6х₁ – 4х₂ ≤ -1100

2х₁ + 4 х₂ ≤ 1900

-2х₁ – 4х₂ ≤ -950

х₁, х₂ ≥ 0

6х₁·t₀ + 4х₂·t₀– 2100t₀≤ 0

-6х₁·t₀ – 4х₂·t₀ + 1100t₀ ≤ 0

2х₁·t₀ + 4 х₂·t₀ – 1900t₀ ≤ 0

-2х₁·t₀ – 4х₂·t₀ + 950t₀ ≤ 0

х₁·t₀ ≥ 0

х₂·t₀ ≥ 0

6t₁ + 4t₂ – 2100t₀ ≤ 0

-6t₁ – 4t₂ + 1100t₀ ≤ 0

2t₁ + 4t₂ – 1900t₀ ≤ 0

-2t₁ – 4t₂ + 950t₀ ≤ 0

t₁ ≥ 0

t₂≥ 0

Воспользуемся дополнительным ограничением равенством.

= t₀

1 = 0,0805х₁·t₀ + 0,3x₂·t₀ + 25,7·t₀

1 = 0,0805t₁ + 0,3t₂ + 25,7t₀

1 – 0,0805t₁ – 0,3t₂ = 25,7t₀

t₀ =

t₀ = 0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂ 0

П одставим в ограничения.

6t₁ + 4t₂ – 2100 · (0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂) ≤ 0

-6t₁ – 4t₂ + 1100·(0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂) ≤ 0

2t₁ + 4t₂ – 1900· (0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂) ≤ 0

-2t₁ – 4t₂ + 950 ·(0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂) ≤ 0

0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂ 0

t₁ ≥ 0, t₂≥ 0

6t₁ + 4t₂– 81,69+ 6,51t₁+ 24,57t₂ ≤ 0

-6t₁ – 4t₂ + 42,79 – 3,41t₁ – 12,87t₂ ≤ 0

2t₁ + 4t₂ – 73,91+ 5,89t₁+ 22,23t₂ ≤ 0

-2t₁ – 4t₂ + 36,955 – 2,945t₁ – 11,115

t₂ ≤ 00,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂ 0

t₁ ≥ 0, t₂≥ 0

После преобразований получим задачу, доступную для графического решения.

F = 0,06475x₁·t₀ + 0,085x₂·t₀ – 25,7t₀

F = 0,06475t₁ + 0,085t₂ – 25,7 · (0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂) = 0,1445t₁ + 0,3857t₂ – 0,999

F = 0,1445t₁ + 0,3857t₂ – 1 → max

12,51t₁ + 28,57t₂ – 81,69≤ 0

-9,41t₁ – 16,87t₂ + 42,79≤ 0

7,89t₁ + 26,23t₂ – 73,91≤ 0

-4,945t₁ – 15,115t₂ + 36,955≤ 0

0,0389 – 0,0031t₁ – 0,0117t₂ 0

t₁ ≥ 0, t₂≥ 0

Построим область допустимых значений (Рис.2.).

12,51t₁ + 28,57t₂ = 81,69

-9,41t₁ – 16,87t₂ = -42,79

7,89t₁ + 26,23t₂ = 73,91

-4,945t₁ – 15,115t₂ =-36,955

-0,0031t₁ – 0,0117t₂= -0,0389

0,1445t₁ + 0,3857t₂ = 1

Р ис. 2.

Н айдем координаты точки xmax– точки пересечения прямых:

7,89t₁ + 26,23t₁ = 73,91

12,51t₁ + 28,57t₂ = 81,69

7,89t₁ = 73,91 – 26,23t₂

t₁ = 9,36 – 3,32t₂

12,51·(9,36 – 3,32t₂) + 28,57t₂ = 81,69

117,09 – 41,53t₂ + 28,57t₂ – 81,69 = 0

-12,96t₂ = -35,4

t₂ = 2,73

t₁ = 9,36 – 3,32·2,73 = 0,3

x₁·t₀ = t₁

x₂·t₀ = t₂

t₀ = 0,0389 – 0,0031·0,3 – 0,0117·2,73 = 0,0389 – 0,00093 –0,0319 = 0,006

x₁ = = = 50

x₂ = = = 455

Максимизация по дробно-линейному критерию показала, что максимум отношения дохода на 1 рубль затрат, Fmax = 0, возможен при программе:

х* = (50; 455).

Заключение

Проведя комплексный анализ управленческих решений по абсолютным и относительным критериям можно сделать следующие выводы.

Очевидно, что рассматриваемую компанию удовлетворит такой ожидаемый результат ее производственной деятельности по оптимальному плану, так как совокупные затраты меньше ожидаемой выручки и уровень чистого дохода на 1 рубль затрат не отрицательный.

Сведем для сравнительного анализа результаты решения по трем критериям в таблицу.

Таблица 1

Сравнительный анализ по критериям