Материал: Введение в теорию массового обслуживания
служивание, но не обслуженные по вине приоритетных. Составим систему уравнений Колмогорова:
0′( ) = ( 1 + 2) · 0( ) + 1 · 1( ) + 2 · 2( ); |
(28) |
||||||||||||
1′ |
( ) = 1 |
· |
0( ) |
− |
( + 2) |
· |
1( ); |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2′ |
( ) = 2 · 0( ) + 2 · 1( ) − 2 · 2( ). |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные |
условия по-прежнему |
0(0) = 1 |
и |
1 |
(0) = 2 |
(0) = 0 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем искать частные решения системы (29) в виде |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0( ) = · − ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1( ) = · − ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2( ) = · − . |
|
|
|
(29) |
|||||
В таком случае должно быть корнем характеристического урав-
нения |
+ 1 + 2 |
− 1 |
− 2 |
|
= 0. |
|||
|
|
− |
1 |
+ 2 + 1 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразовав левую часть последнего уравнения, разложим на множители полученный многочлен:
· ( + 2 + 2) · ( + 1 + 1 + 2).
Итак, характеристический многочлен имеет три различных ве-
46
щественных корня:
1 = 0, |
2 = −( 2 + 2) и |
3 = −( 1 + 2 + 1). |
Для каждого корня подставим (29) в (28) и выберем два пер-
вых уравнения из трех линейно зависимых. Найдем решения полученных систем с точностью до постоянного множителя.
1. 1 = 0 :
( 1 + 2) − 1 · = 2 · ;
=
− 1 · + ( 1 + 2) · = 0;
2. 2 = − 2 − 2 :
( 1 − 2) − 1 · = 2 · ;
=
− 1 · + ( 1 − 2) · = 0;
3. 3 = − 1 − 2 − 1 :
1 · − 1 · = 2 · ;
− 1 · + ( 1 − 2) · = 0;
= 2 · ( 2 + 1);
= 1 · 1;
= 2 · ( 1 + 2 + 1).
= 1 − 2;
= 1;
= − 1 − 1 + 2.
= 1;
= = −1;
= 0.
47
Тогда общее решение системы (28) примет вид
1 |
( ) |
= 1 |
|
|
2 |
· |
|
|
|
|
+ |
|||||||||||
0 |
( ) |
|
|
|
|
· |
|
|
|
( 2 |
+ 1) |
|
|
|||||||||
2 |
( ) |
|
|
|
2 |
· |
( 1 +· |
22 + 1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
−( 2 |
+ 2)· |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
||||||||
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
1 |
− |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 + 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
||
|
|
+ 3 |
|
−( 1+ 2+ 1) |
|
, |
(30) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 1, 2 и 3 – произвольные вещественные константы. Для нахождения частного решения (28), удовлетворяющего начальным условиям, подставим в общее решение = 0.
2 · ( 2 + 1) · 1 + ( 1 − 2) · 2 + 3 = 1;
1 · 2 · 1 + 1 · 2 − 3 = 0;
2 · ( 1 + 2 + 1) · 1 + (− 1 − 1 + 2) · 2 = 0.
Решим систему относительно неизвестных:
1 = |
1 |
; |
( 1+ 2+ 1)·( 2+ 2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 = |
( 1+ 1− 2)·( 2+ 2) |
; |
3 = |
1 ( 1+ 2+ 1− 2) |
|
( 1+ ·2+ 1)·( 1+ 1− 2) . |
||
|
|
|
|
|
|
Подставив значения 1, 2 и 3 в (30), получим искомое ре-
48
шение. К сожалению, запись уравнений оказалась слишком громоздкой, но тем не менее мы получили аналитическое решение путем ряда довольно стандартных, рутинных операций, которые любой человек, знакомый с основами теории дифференциальных уравнений, легко может проделать. Аналитическое решение открывает нам большие возможности теоретического исследования различных режимов работы системы.
Непосредственно из (30) путем предельного перехода найдем установившееся решение:
|
( 1+ 2 |
1 1 2· 2 2 |
|
|
|
0 = |
2 |
·( 2+ 1) |
; |
|
|
|
+ ) ( + ) |
|
|||
1 = |
( 1+ 2 |
+ ·1) |
( 2+ 2) ; |
(31) |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
2 |
|
|
|
|
2+ 2 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запись решения системы уравнений (28), как и промежуточные выкладки, значительно упрощается, если взять равные интенсивности обслуживания обычных и привилегированных заявок. На рис. 9 представлены графики решения системы уравнений (30), а также предельные вероятности (31) при 1 = 4, 1 = 6,
2 = 1, 2 = 4.
В приведенном примере предельные вероятности 0 = 0, 509,
1 = 0, 291 , 2 = 0, 2 . Как видно на рисунке, графики очень
быстро прижимаются к соответствующим асимптотам. Здесь 0
– доля времени простоя системы, 1 – доля времени, приходяще-
гося на обслуживание обычных заявок, 2 = 1 − 0 − 1 – доля времени, приходящегося на обслуживание приоритетных заявок.
49
Рис. 9. Вероятности состояний СМО с приоритетным входным потоком
В дальнейшем при исследовании системы мы сконцентрируем внимание на характеристиках, основанных на предельных вероятностях.
Как следует из описания работы СМО, приоритетные заявки ведут себя так, как если бы поток обычных заявок отсутствовал. Таким образом, характеристики обслуживания приоритетных заявок совпадают с характеристиками, рассмотренными в § 2.2. С обычными заявками ситуация несколько иная. Найдем вероятность того, что обслуживание принятой обычной заявки будет завершено до появления приоритетной. Вероятность того, что обычная заявка, находящаяся на обслуживании в момент ,
будет обслуживаться в течение элементарного промежутка времени равна равна 1· − 1· · . Вероятность того, что к моментуне поступила приоритетная заявка − 2· . По формуле полной
50