Материал: Введение в теорию массового обслуживания

тором исходном состоянии.

Рассмотренной выше СМО соответствует полный направленный граф, т. е. допускаются переходы из любого состояния в любое другое. Граф реальной СМО, скорее всего, окажется неполным. Однако для нас это будет означать только то, что в системе уравнений (19) некоторые интенсивности переходов следует приравнять к нулю.

§ 2.2. Одноканальная СМО с отказами

Самая простая СМО – одноканальная с отказами (рис. 4).

Рис. 4. Одноканальная СМО с отказами

Эта система в любой момент времени может находиться в одном из двух состояний. Состояние 0 – единственный канал свобо- ден, 1 – канал занят обслуживанием заявки. Если в момент поступления очередной заявки канал занят, заявка получает отказ, т. е. теряется. Как видно на схеме, интенсивности переходов01 = и 10 = . Здесь – интенсивность входящего потока,

– интенсивность потока обслуживания. Предполагается, что

время обслуживания – случайная величина с экспоненциальной плотностью распределения ( ) = · − · . То есть время обслу-

живания распределено по тому же закону, что и время между

31

двумя соседними заявками. Таким образом, для вероятностей переходов выполняются равенства (18):

01( ) = · + ( ) и 10( ) = · + ( ).

Математическое ожидание времени обслуживания

Это соответствует полученному в первой главе результату для

возникает вопрос: «Не несет ли в себе параметр смысл, аналогичный смыслу интенсивности простейшего потока ?». Действительно, можно определить как ожидаемое количество об-

служиваемых в единицу времени заявок при условии, что канал обслуживания работает непрерывно. На самом деле канал обслуживания иногда простаивает, и потому не совпадает с интенсивностью выходящего потока, т. е. потока обслуженных заявок.

Запишем систему уравнений Колмогорова для одноканальной СМО с отказами:

0′( ) = − · 0( ) + · 1( );

1′( ) = · 0( ) − · 1( ).

Начальные условия 0(0) = 1 и 1(0) = 0 , т. е. в начале работы

32

система готова принять заявку. Подставив в первое уравнение

Решение

1. Найдем решение соответствующего однородного уравнения:

0′( ) + ( + ) · 0( ) = 0.

0 = −( + ) · = 0 = 0( ) = −( + ) · + | |,0

где − . Тогда 0( ) = · −( + )· .

2.Найдем одно частное решение исходного уравнения в виде( ) = методом неопределенных коэффициентов. Подставив ( ) = в (20), получим ( + ) · = . Таким образом,

( ) = + .

3.Общее решение неоднородного линейного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного и произвольного частного решения. Следовательно, общее решение уравнения (20) будет иметь вид

0( ) = · −( + )· + + .

Из условия 0(0) = 1 вытекает = + и искомое решение

0( ) = +1 · ( + · −( + )· ).

33

1( ) найдем как 1 − 0( ) и представим результат в виде

Таким образом, графики 0( ) и 1( ) на бесконечности стремятся к некоторым асимптотам.

Значения 0( ) = + и 1( ) = + называют установивши- мися решениями, а также предельными вероятностями , или стационарными вероятностями . В установившихся ре-

шениях после мы не пишем в скобках .

На рис. 5 представлены графики вероятностей состояний системы на временном интервале [0; 2]. Как видно, графики очень

быстро сливаются с асимптотами. В таких случаях часто сосредотачивают внимание на установившихся решениях. И все же иногда, например, когда речь идет о запуске космического корабля, крайне важно поведение системы именно на начальном временном интервале. На графиках представлены три решения при различных отношениях между интенсивностью входящего потока заявок и интенсивностью обслуживания и, соответственно, три варианта установившегося решения:

1. < – система чаще свободна, чем занята обслуживанием

заявок;

34

Рис. 5. Одноканальная СМО с отказами: a) = 4 и = 2, b) = 2 и = 4,

c)= 3 и = 3

2.> – система чаще занята;

3.= – система простаивает ровно в половине случаев.

Установившиеся решения можно получать и непосредственно из уравнений Колмогорова. Для этого достаточно в одном из уравнений (19) заменить переменные ( ) на константы и доба-

35