Материал: Введение в теорию массового обслуживания
и возьмем производную
′ |
( ) = |
· |
− |
· |
(( |
− |
) |
· |
+ ( + ) − ). |
(25) |
1 |
|
|
|
|
|
|
Подставив во второе уравнение (23) = 0, и, учитывая 0(0) = = 1 и 1(0) = 0, получим недостающее для дифференциального уравнения второго порядка начальное условие 1′(0) = . При= 0 из (25) следует: · ( − + + ) = или = 2 .
1( ) = 2 · − · ( − − ).
Теперь легко из (24) получим уравнение
0( ) = 21 · − · (( + 2 ) · + ( − 2 ) · − ).
Вероятность безотказной работы системы в течение времени
( ) = 0( ) + 1( ) = 21 · − · (( + ) · − ( − ) · − ). (26)
Разумеется, 2( ) = 1 − ( ). Причем lim →+∞ 2( ) = 1, и, зна-
чит, система в конце концов закончит свой путь в состоянии 2. Однако нас в этой задаче прежде всего интересует вероятность безотказной работы системы в течение заданного времени. Подставив в правую часть (26 ) значения и , после ряда преобра-
зований получим:
( ) = − |
2 |
|
· ·[ |
|
4 + 2 |
· (√ |
4 |
2 |
)+ (√ |
2 |
· )]. |
||
|
2 + |
|
|
2 + |
|
|
|
+ 2 |
|
|
4 + 2 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27)
41
Чтобы найти вероятность безотказной работы соответствующей СМО с резервом без восстановления, достаточно устремить к нулю .
|
|
|
|
|
lim − |
2 + |
|
|
= |
− · ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
√ |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
→0 |
2 |
|
|
· ) |
= |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim ( |
|
|
4 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
→0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
→0 |
2 · |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 + 2 |
√ |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim ( |
|
|
|
)/ 4 + 2 |
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= lim |
|
− − |
|
|
|
= |
lim |
· ( |
|
− − |
|
) |
= |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
→0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||
Следовательно,
lim ( ) = − · · (1 + · ).
→0
На рис.7 представлены графики функции ( ) при > 0 (си-
Рис. 7. График R(t) при = 2. Сплошная линия: = 4, пунктир: = 0
стема с восстановлением) и = 0 (система без восстановления). Теперь найдем ожидаемое время наработки системы на отказ. Функция распределения времени безотказной работы ( ) = 1 −( ). Соответственно, плотность распределения ( ) = ′( ). Вер-
42
немся к более компактной, чем (28), формуле (26). Тогда
( ) = 2 · ( −( − )· − −( + )· ).
2
Обозначим наработку на отказ системы |
|
|
||
|
|
сист в отличие от на- |
||
работки на отказ каждого устройства |
|
|
|
|
сист = ( ) = ∫0∞ · ( ) · = 2 |
отк: |
|
|
|
· (( − )2 |
− ( + )2 ). |
|||
|
2 |
1 |
1 |
|
Подставив значения и , получим:
|
2 |
|
|
|
|
сист = |
|
+ |
2 |
. |
|
Здесь
2 – увеличение наработки системы на отказ за счет вос-
|
2 |
|
становления. При = 0 значение сист = |
|
= 2 · отк. То есть |
наработка на отказ системы без восстановления равна сумме наработок на отказ основного и резервного устройств. Тот же результат можно получить, взяв
( ) |
= − · · (1 + · ), |
|
|
|
|
( ) |
= 1 − ( ) = |
|
|
|
|
( ) |
= |
′( ) = 2 · · − · . |
∫0 |
∞ 2 · 2 · − · · = . |
|
сист |
= |
( ) = ∫0∞ · ( ) · = |
|||
|
|
|
|
2 |
|
Например, система, где = 0, 5 без восстановления будет иметь
наработку на отказ сист = 4, а при интенсивности восстановле-
ния = 2 получим сист = 12.
43
§ 2.4. СМО с приоритетными заявками
Системы массового обслуживания с приоритетами мы наблюдаем в железнодорожных кассовых залах, когда вне очереди оформляют билеты ветеранам войн и другим категориям граждан, на которые распространяется соответствующая льгота; в стоматологическом кабинете, где принимают без очереди пациентов с острой болью. Можно привести много подобных примеров.
Системы с приоритетами классифицируют прежде всего по количеству категорий заявок. Так, в военно-полевой медицине принято делить раненых на четыре группы по срочности оказания медицинской помощи. Такая классификация впервые была предложена выдающимся российским хирургом Николаем Ивановичем Пироговым. На телеграфе когда-то выделяли три категории телеграмм: простые, срочные и молния. СМО с приоритетами может быть с отказами или с очередями. Кроме того, при поступлении приоритетной заявки обслуживание «рядовой» может прерываться или же система будет ждать завершения обслуживания. Например, в противовоздушной обороне при появлении более опасных целей система может отпустить неприоритетную заявку и переключиться на обслуживание «дорогих гостей».
Мы рассмотрим СМО (рис. 8) с отказами и с двумя входящими потоками заявок: обычный с интенсивностью 1 и приори-
тетный с интенсивностью 2. Интенсивности обслуживания со-
ответствующих заявок – 1 и 2. Система может находиться в
44
Рис. 8. СМО с приоритетами
трех состояниях: 0 – свободна, 1 – обработка обычной заяв- ки, 2 – обработка приоритетной заявки. Первоначально система находится в состоянии 0. В случае поступления обычной заявки система переходит в состояние 1. Если до завершения об- служивания обычной заявки поступила приоритетная, система прерывает обслуживание текущей заявки и приступает к обслуживанию приоритетной, т. е. переходит в состояние 2. После завершения обслуживания любой заявки система возвращается в исходное состояние 0.
Обыкновенная заявка получает отказ, если система занята обслуживанием любой другой заявки, приоритетная – только тогда, когда СМО занята обслуживанием другой приоритетной заявки.
Такая система будет иметь пять выходящих потоков, которые соответственно составляют обслуженные приоритетные и обычные заявки, приоритетные и обычные заявки, получившие отказ в обслуживании и, наконец, обычные заявки, принятые на об-
45