Материал: Введение в теорию массового обслуживания

вить условие ∑

= 1.

Для рассмотренной в этом параграфе СМО система уравнений примет вид

− · 0( ) + 1 = 0;

(22)

0( ) + 1 = 1.

Разумеется, ее решение совпадет с результатом, полученным выше путем предельного перехода.

Характеристики одноканальной СМО с отказами

1. Ожидаемое время между двумя последовательными заявками

2. Ожидаемое время обслуживания заявки

3.Относительная пропускная способность ( ) = 0( )

– доля обслуженных заявок в общем количестве поступивших. В данном случае эта величина совпадает с вероятно-

стью того, что единственный канал обслуживания в моментсвободен.

36

4. Абсолютная пропускная способность ( ) = · ( ) =

= · 0( ) – среднее число обслуживаемых в единицу времени заявок.

Поскольку каждая принятая заявка будет обслужена, эта величина здесь совпадает с интенсивностью выходящего потока.

5.Ожидаемая доля необслуженных заявок среди поступивших в момент : отк( ) = 1( ) = 1 − ( ).

Обратим внимание на тот факт, что рассмотренная в этом параграфе система имеет два выходящих потока заявок. В предельном случае:

·

= · 0 = +

–интенсивность потока обслуженных заявок и

2= · 1 = +

– интенсивность потока потерянных заявок.

37

§ 2.3. Дублированная СМО с восстановлением

Теперь рассмотрим одну классическую задачу теории надежности. Некоторое устройство в процессе работы может выходить из строя. Имеется резервное устройство, которое в случае неисправности основного автоматически включается в работу. В этот же момент начинается восстановление основного. Будем считать, что резерв ненагруженный, т. е. во время работы основного устройства резервное не может потерять работоспособность.

Пусть – интенсивность потока отказов, – интенсивность вос-

Изначально система находится в состоянии 0 – работает основ- ное устройство. В случае выхода из строя основного устройства, система переходит в состояние 1 – работает резервное устрой- ство. Если во время работы резервного устройства было восстановлено основное, система возвращается в 0. Если же до вос- становления основного устройства вышло из строя резервное, си- стема переходит в состояние 2, что фактически означает прекращение работы системы.

Составим по изображенной на рис. 6 схеме систему уравнений

38

Колмогорова:

Рис. 6. Дублированная СМО с восстановлением

Начальные условия: 0(0) = 1 и 1(0) = 2(0) = 0. Из второго уравнения выразим

Левую и правую части первого из уравнений (23 ) умножим наи подставим в полученное уравнение значение · 0( ) из (24). После приведения подобных членов получим линейное однородное уравнение второго порядка

1′′( ) + (2 · + ) · 1′( ) + 2 · 1( ) = 0.

Составим соответствующий ему характеристический многочлен:

2 + (2 · + ) · + 2

39

инайдем его корни:

= 4 + 2;

Поскольку 4 + 2 < (2· + )2, 2 также меньше нуля. Все корни характеристического уравнения отрицательны. Многочлен, вещественные части всех корней которого отрицательны, называют textbfустойчивым. Устойчивость означает, что, как и в примере предыдущего параграфа, все экспоненты, линейной комбинацией которых является решение уравнения, при → +∞ стремятся к нулю и уравнение имеет предельное решение.

Общее решение уравнения запишем в виде

√√

Подставив в уравнение = 0 и применив начальное условие

1(0) = 0, получим 2 = − 1. С целью экономии пространства и времени введем обозначения:

Теперь уравнение перепишем в виде

1( ) = · − · ( − − )

40