Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

окружность l с центром z0 и радиусом z (т.е. приращения

zимеют фиксированный модуль, но различные направления

—рис. 3.4, а). При отображении ω = f (z) эта окружность

перейдет в

кривую

L (рис. 3.4, б);

расстояние от

точки

ω = f (z0 +

z) этой кривой до точки ω0

= f (z0 ) равно

Поскольку

ω −ω0

f (z0 + z) − f (z0 )

ω = f ′(z0 ) z +α( z) z ,

где α( z) → 0 при

z → 0 , то

ω −ω0

f ′(z0 ) z +α(

z) z

Это равенство означает, что точки кривой L будут мало

отличаться от окружности

ω −ω0

f ′(z0 )

с центром ω0 и

радиусом

f ′(z0 )

(точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину более высокого порядка малости, чем z — рис. 3.4,

б).

3. Понятие конформного отображения. Отображение называется конформным в точке z0 , если: 1) при этом

отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z0 ; 2) растяжение в точке

z0 не зависит от направления.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Полученные выше результаты сформулируем в виде

теоремы.		Если	функция	ω = f (z)	является
Теорема	3.1.	Если	функция	ω = f (z)	является
аналитической	в	точке	z0 и	f ′(z0 ) ≠ 0 ,	то f (z)

осуществляет конформное отображение первого рода в

точке z0 . При этом Arg f ′(z0 ) означает угол поворота, a

f ′(z0 )		— коэффициент растяжения при данном

отображении.

Пример конформного отображения второго рода дает

функция (не аналитическая!) ω = z , которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси

ОХ.

Если f ′(z0 ) = 0 , то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z0 . Так, отображение ω = z2 увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

4. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Функция ω = f (z) называется однолистной в области D,

если в разных точках области D эта функция принимает разные значения: если z1 ≠ z2 , то f (z1 ) ≠ f (z2 ) .

Пусть функция f (z) отображает область D на область Е.

Однолистность означает, что каждая точка ω E имеет только один прообраз в D. Поэтому отображение области D на


область Е,	осуществляемое однолистной функцией ω = f (z) ,
является	взаимно-однозначным: каждой точке			z D
соответствует точка ω E , и наоборот,			каждой точке ω E
соответствует		единственный прообраз	z D . Например,
функция ω = z2		не является однолистной во всей комплексной
плоскости	, так как (−1)2 =12 . Но она является однолистной

в полуплоскости D ={z : Re z > 0} .

Отображение области D на область Е называется конформным, если оно непрерывно и конформно в каждой точке области D.

Из теоремы 3.1 следует, что если функция f (z) аналитична в области D и f ′(z) не обращается в нуль ни в

одной точке из D, то эта функция осуществляет конформное отображение области D.

Перейдем к изучению основных элементарных функций и свойств соответствующих отображений.

4.1. Линейная и дробно-линейная функции
1. Линейная функция. Функция
ω = az +b,	(1.1)

где a и b — заданные комплексные числа a ≠ 0 , называется

линейной функцией. Так как ω′ = a ≠ 0 ,	то отображение (1.1)
является конформным во всей плоскости	. Докажем, что оно

также однолистно в . Если ω1 = az1 +b , ω2 = az2 +b , то

ω1 −ω2 = a(z1 − z2 ) . Поэтому при z1 ≠ z2 получаем, что ω1 ≠ω2

иоднолистность установлена. Положив по определению

ω(∞) = ∞ , получим однолистное отображение всей

расширенной комплексной плоскости
		на .
Для изучения геометрических свойств отображения (1.1)
рассмотрим вначале случай b = 0 , т.е.	ω = az . Пусть a =		a	eiα ,

z = z eiϕ . Тогда

ω = a z ei(α+ϕ) .

Поэтому для получения вектора ω = az нужно выполнить следующие два действия:

1) умножить заданный вектор z на a . При этом

направление	вектора z			останется прежним,	но		длина
увеличится в		a	раз.	Значит, умножение на		a	есть

преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия a ;

2) повернуть полученный вектор a z на угол α .

Для рассмотрения общего случая (1.1) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор b .

Итак, отображение (1.1) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преобразования подобия с центром в начале

координат и коэффициентом подобия a ; 2) поворота вокруг

начала координат на угол α ; 3) параллельного переноса на вектор b .

Пример 4.1. Найти линейную функцию, отображающую квадрат D со стороной 2 на квадрат Е со стороной 4 (рис. 4.1) и точку А в точку В.

	Рис. 4.1
Решение.	1. Подберем	преобразование	подобия,
переводящее D	в квадрат	D1 со стороной 4.	Так как

коэффициент подобия равен 2, то нужное преобразование есть

ω1 = 2z . Точка A(2 2, 2) перейдет в A1 (4			2, 2	′	′
				2) , A в A1 .
2. Повернем	получившийся	квадрат	D1	относительно
		′	стала параллельной
начала координат так, чтобы сторона A1 A1
′	Получившийся	квадрат	обозначим		D2 .
стороне B B .

Очевидно, что нужный поворот будет на угол 45° против

часовой			стрелки;	это преобразование запишется в						виде
ω	2	=ω eiπ 4 . Точка A перейдет в
	2	1		1
		A2	= (4 2 +i2	2)		π	+i sin	π	= (4 +i2)(1+i) = 2	+6i .
		A2	= (4 2 +i2	2)	cos	4	+i sin		= (4 +i2)(1+i) = 2	+6i .
						4		4

3. Осталось сделать параллельный перенос квадрата D2 на вектор A2 B . Учитывая, что B = 6 +2i , имеем A2 B = 4 −4i и

ω=ω2 +4 −4i . Итак,

ω=ω2 +4 −4i =ω1eiπ 4 +4 −4i = 2zeiπ 4 +4 −4i ,

иискомое линейное отображение ω = az +b получено:

a = 2eiπ4 = 2 +i 2; b = 4 −4i .

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)