Документ: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н, страницы 36-40

ω = u +i v = A z +α( z) z, ,

которое

совпадает

с

(1.2).

Для

доказательства

дифференцируемости функции f (z)

осталось

показать,

что

lim α(

z) = 0 . Из равенства

z→0

z

= ( x)2 +( y)2

следует, что

x

≤

z

,

y

≤

z

. . Поэтому

α( z)

≤

β1 +iβ2

x

+

γ1 +iγ2

y

=

β +iβ

2

+

γ

1

+iγ

2

.

z

1

y → 0 ,

Если

z → 0 ,

то

x → 0 ,

а значит,

и

функции

β1, β2 ,γ1,γ2 стремятся

к

нулю.

Поэтому

α(

z) → 0

при

z → 0 , и доказательство теоремы 1.1 закончено.

Пример

3.2.

Выяснить,

является ли

функция

ω = z2

дифференцируемой; если да, то в каких точках?

Решение.

ω = u +iv = (x +iy)2 = x2 − y2 +2ixy ,

откуда

u = x2 − y2 , v = 2xy. Следовательно,

∂u

= 2x = ∂v

,

∂u

= −2 y = − ∂v .

∂x

∂y

∂x

Таким образом, условия (1.4) Коши-Римана выполнены в

каждой точке; значит, функция ω = z2 будет дифференцируемой в .

Пример 3.3. Исследовать дифференцируемость функции

ω = z = x −iy .

Решение. ω = u +iv = x −iy, откуда u = x , v = −y и

∂u	=1,	∂v	= −1.
∂x		∂y

Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в

одной точке, и, следовательно, функция ω = z нигде не дифференцируема.

Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (1.1).

36

Пример 3.4. Используя формулу (1.1), исследовать

дифференцируемость функции ω = z2 .
Решение.		ω = (z0 +		z)2 − z0	2	= 2z0 z +(	z)2 , откуда
lim	ω	= lim	2z0	z +( z)2		= lim (2z0 +	z) = 2z0 .
	z			z
z→0		z→0				z→0
Следовательно,		функция		ω = z2		дифференцируема в любой

точке z0 , и ее производная f ′(z0 ) = 2z0 .

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f (z) дифференцируема в точке z0 , то она

непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.

3. Аналитические функции. Функция	ω = f (z) ,
дифференцируемая не только в самой точке	z0 , но и в

некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке z0 . Если f (z) является аналитической в каждой точке

области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.

Из свойств производных сразу следует,		что если f (z)	и
g(z) — аналитические функции в области		D, то функции
f (z) + g(z) , f (z) − g(z) ,	f (z) g(z) также	аналитичны	в
области D, а частное f (z)	g(z) — аналитическая функция во

всех точках области D, в которых g(z) ≠ 0 .

	Например, функция	z
	f (z) =	z
	f (z) =	(z −1)(z −i)

37

является аналитической в плоскости	с выброшенными
точками z =1 и z = i .

Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция u = u(z) аналитична в

области D и отображает D в область D′ переменного u , а функция ω = f (u) аналитична в области D′, то сложная

функция ω = f (u(z)) переменного z аналитична в D.

Введем понятие функции, аналитической в замкнутой

области D . Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности,

принадлежащей D ; поэтому производная в этих точках не определена. Функция f (z) называется аналитической

(регулярной, голоморфной) в замкнутой области D , если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую

область D1 , содержащую D , до аналитической в D1 функции.

3.2. Связь между аналитическими и гармоническими функциями

Действительная функция u = u(x, y) двух переменных х и

у называется гармонической в области D, если она определена в D, имеет всюду в D непрерывные частные производные первого и второго порядков и удовлетворяет в каждой точке из D уравнению Лапласа:

∂2u	+	∂2u	= 0.	(2.1)
∂x2		∂y2

Уравнение Лапласа и гармонические функции играют важную роль в физике и технике. Например, установившееся распределение температуры в области D, потенциал электрического поля в областях, свободных от зарядов, являются гармоническими функциями. В гидродинамике потенциал скоростей и функция тока безвихревых плоских

38

течений несжимаемой идеальной жидкости также являются гармоническими функциями. Связь между аналитическими и гармоническими функциями, которая будет изучена в данном разделе, используются в разнообразных приложениях аналитических функций.

Теорема 2.1. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Доказательство. Пусть функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) аналитична в области D. Надо доказать, что функции u(x, y) и v(x, y) являются гармоническими в D. Нам понадобится

следующий факт: действительная и мнимая части аналитической функции имеют непрерывные частные производные первого и второго порядков.

Так как f (z) аналитична в D,					то в каждой точке области
D выполнены условия Коши-Римана (1.4). Дифференцируя
первое из тождеств (1.4) по x , а второе по у, получим
∂2u	=	∂2v	;	∂2u	= −	∂2v	.	(2.2)
∂x2		∂y∂x		∂y2		∂x∂y

Из курса математического анализа известно, что если действительная функция v(x, y) имеет непрерывные частные

производные первого и второго порядков, то ∂2v = ∂2v .

∂y∂x ∂x∂y

Складывая равенства (2.2), придем к уравнению (2.1), что нам и требовалось.

Итак, если	f (z) = u +iv — аналитическая функция, то u
и v будут гармоническими. Но обратное неверно: если u		и v
— произвольно	выбранные гармонические функции,	то

функция	f (z) = u +iv	не обязательно будет аналитической.
Например,	функция	f (z) = Re z = x +i0 не аналитична (см.

пример 3.1), хотя функции u = x , v = 0 — гармонические. Чтобы функция f (z) = u +iv была аналитической, функции u

и v должны не только быть гармоническими, но и

39

f (z) = u +iv .

удовлетворять условиям (1.4). Гармоническая функция v , связанная с гармонической функцией u условиями КошиРимана (1.4), называется сопряженной с u . Из теорем 1.1 и 1.2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.2. Для того чтобы две гармонические функции

u = u(x, y) и	v = v(x, y) составляли аналитическую функцию
f (z) = u +iv ,	необходимо и достаточно, чтобы v являлась

сопряженной с u .

Пусть в односвязной области D задана гармоническая

функция u = u(x, y) , причем известно, что	она является
действительной частью аналитической функции	f (z) = u +iv .

Тогда для мнимой части v = v(x, y) из условий (1.4) находим

∂v	= −	∂u	;	∂v	=	∂u .
∂x		∂y		∂y		∂x

Таким образом, задав функцию u , мы можем найти частные производные функции v . Известно, что функция нескольких переменных в односвязной области D восстанавливается по своим частным производным однозначно с точностью до постоянного слагаемого (один из способов такого восстановления будет показан в примере 2.3). Итак, задав гармоническую функцию u в односвязной области D, мы можем однозначно с точностью до постоянного слагаемого найти сопряженную с ней функцию v и тем самым восстановить аналитическую функцию

Аналогично f (z) восстанавливается (с точностью до

постоянного слагаемого) и по своей мнимой части v .

Пример 2.3. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть

v = 4xy + y .

(Нетрудно видеть, что данная функция v будет

гармонической, поскольку ∂2v = ∂2v = 0 .)

∂x2 ∂y2

40

Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Смотрите также: