Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Из условий Коши-Римана (1.4) находим

частные производные неизвестной пока функции u :
∂u	= ∂v = 4x +1,		(2.3)
∂x	∂y
∂u	= −	∂v = −4 y.	(2.4)
∂y		∂x
Проинтегрируем уравнение	∂u	= 4x +1 по x; возникающая при
	∂x

этом постоянная C = C( y) не должна зависеть от x, но может зависеть от у:

u = ∫(4x +1)dx = 2x2 + x +C( y).

Для нахождения функции C( y) подставим u в уравнение

(2.4):

∂∂uy = C′( y) = −4 y .

Отсюда C( y) = ∫(−4y)dy = −2y2 +C1 , где C1 — произвольная

постоянная. Итак,

u = 2x2 + x −2y2 +C1,

f (z) = u +iv = (2x2 + x −2 y2 ) +i(4xy + y) +C1.

Можно записать f (z) и в другой форме:

f(z) = 2(x2 +2ixy − y2 ) + x +iy +C1 =

=2(x +iy)2 +(x +iy) +C1 = 2z2 + z +C1.

3.3. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения

1. Геометрический смысл аргумента производной.

Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями

x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β ,

(3.1)

где x(t), y(t) — действительные функции действительного переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные на интервале (α, β) , причем

′	′						Кривая,
x (t) и	y (t) не обращаются в нуль одновременно.						Кривая,
обладающая указанными свойствами, называется гладкой.
Так	как	каждая	точка	(x, y)	на плоскости		задается
комплексным		числом	z = x +iy , то		уравнения (3.1)			можно
записать в более компактной форме:
				z(t) = x(t) +iy(t) , α ≤ t ≤ β .
				Возьмем значения t0 и				t0 +	t
				из интервала (α, β) . Им
				соответствуют		точки	z(t0 )		и
				z(t0 +	t) на кривой.
				Вектор
				z = z(t0 + t) − z(t0 ) = x +i y
				направлен по секущей,
	Рис. 3.2			проходящей через эти точки					z
				(рис. 3.2). Если умножить					z
на действительное число 1				t , то получим		вектор		z	t ,
коллинеарный вектору			z . Начнем уменьшать			t . Тогда точка
z(t0 + t)	будет приближаться к z(t0 ) по кривой; вектор							z	t

будет поворачиваться, приближаясь к вектору

lim	z	= lim	x	+i	y	′	′	′
lim	t	= lim	t	+i		= x (t0 ) +iy (t0 ) = z (t0 ).
t→0	t	t→0	t		t
Предельное	положение			секущих,			проходящих	через точку

z(t0 ) , называется касательной к кривой в этой точке. Таким

образом, вектор z′(t0 )

направлен по касательной к кривой в

точке z(t0 ) .

f (z) , аналитическая в

Пусть

теперь

задана функция

точке z0 , причем

f ′(z0 ) ≠ 0 . Предположим далее, что через

точку z0

проходит

кривая

γ ,

заданная

уравнением

z(t) = x(t) +iy(t) ,

z(t0 ) = z0 .

Кривая

отображается

функцией

ω = f (z)

кривую Г, лежащую в

плоскости

переменного

ω ;

уравнение

кривой

будет

иметь

вид

ω(t) = f (z(t)) ; точка

z0 отобразится в точку

ω0 = f (z0 ) .

По

правилу дифференцирования сложной функции

ω′(t0 ) =

f ′(z0 ) z′(t0 ) .

(3.2)

Отсюда следует, что

Arg ω′(t0 ) = Arg f ′(z0 ) + Arg z′(t0 ) .

(3.3)

Но z′(t0 )

есть вектор, касательный к кривой γ

в точке z0

(рис. 17, а), a ω′(t0 )

— вектор, касательный к кривой Г в точке

ω0 (рис. 3.2,

б). Поэтому равенство (3.3)

позволяет придать

величине

Arg f ′(z0 )

геометрический смысл:

аргумент производной равен углу,

на

который

поворачивается касательная в точке

к любой кривой γ

проходящей через

эту

точку,

при

отображении ω = f (z) .

Заметим, что этот угол не зависит от	кривой γ , т.е.
касательные ко всем кривым, проходящим	через точку z0 ,
поворачиваются при отображении ω = f (z)	на один и тот же
угол, равный Arg f ′(z0 ) .

Возьмем какие-либо две кривые γ и γ1 проходящие через точку z0 , и проведем касательные к этим кривым (рис. 3.2, а). При отображении ω = f (z) кривые γ и γ1 перейдут в

Рис. 3.3

кривые Г и Г1 , а каждая из касательных к γ и γ1 повернется на один и тот же угол. Поэтому угол θ между касательными к γ и γ1 будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к Г и Г1 . Напомним, что углом между кривыми в точке z0 называется угол между касательными к этим кривым в точке z0 . Таким образом, если f ′(z0 ) ≠ 0 , то отображение ω = f (z) сохраняет углы между кривыми.

2.Геометрический смысл модуля производной.

Зафиксируем точку z0				и возьмем приращение аргумента z ;
очевидно, что модуль				z	равен расстоянию между точками

z0 и	z = z0 + z	(рис.	3.4,		а). Пусть ω = f (z) ,	ω =ω −ω0 .
Тогда	величина	ω		z	указывает, в каком отношении
изменяется расстояние				между точками z0 и z		в результате

отображения ω = f (z) . Предел

lim (

z )

называется

z→0

коэффициентом растяжения в точке

при

отображении

ω = f (z) . Поскольку

lim(

) =

f ′(z0 )

z→0

то модуль f ′(z0 ) равен коэффициенту растяжения в точке z0 при отображении ω = f (z) . Если f ′(z0 ) >1, то в достаточно малой окрестности точки z0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит

Рис. 3.4

растяжение; если f ′(z0 ) <1, то отображение приводит к

сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения).

Так как производная f ′(z0 ) не зависит от того, по какому пути точка z0 + z приближается к z0 , то коэффициент

растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)