Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

zlimz f (z) = f (z0 ) .

→ 0

	Зафиксируем точку z0		и возьмем другую точку z D .
Тем	самым	аргумент	изменится	на	величину
z = z − z0 = x +i		y , называемую приращением аргумента.
Соответствующее изменение функции
		ω = f (z) − f (z0 ) = f (z0 + z) − f (z0 )

называется приращением функции.

3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.1. Производная и дифференциал.

Условия Коши—Римана. Аналитические функции

1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.

Пусть функция ω = f (z) = u +iv определена в некоторой окрестности U точки z0 . Дадим независимому переменному z = x +iy приращение z = x +i y , не выводящее за пределы

окрестности U. Тогда	функция	ω = f (z)	получит
соответствующее приращение	ω = f (z0 +	z) − f (z0 ) .

Производной функции ω = f (z) в точке z0 называется

предел отношения приращения функции ω к приращению аргумента z при стремлении z к нулю (произвольным образом).

Производная обозначается	′			′		dω		df
			ω		,	dz	или	dz .
	f (z) ,
Определение производной можно записать в виде
′	ω	.					(1.1)
f (z) = lim	z
z→0

Предел в (1.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция ω = f (z) не имеет производной в точке z0 .

Функция ω = f (z) называется дифференцируемой в точке z0 , если она определена в некоторой окрестности U


точки z0	и ее приращение				ω можно представить в виде
			ω = A z +α( z)				z ,				(1.2)
где комплексное число А не зависит от								z , а функция α( z) -
бесконечно малая при				z → 0 , т.е.		lim α (			z)= 0 .
						z→0
Так же как и для функций действительного переменного,
доказывается, что функция					f (z) дифференцируема в точке z0
тогда и	только тогда, когда она					имеет		производную в z0 ,
причем	A = f ′(z0 ) .			Выражение			f ′(z0 )			z	называется
дифференциалом функции					f (z)	в точке			z0	и обозначается
dω или	df (z0 ) . При этом приращение									z	независимого
переменного		z	называется			также			дифференциалом
переменного z и обозначается dz . Таким образом,
				dω = df (z0 ) = f ′(z0 )dz .

Дифференциал есть главная линейная часть приращения

функции.
Пример	3.1. Исследовать, имеет ли функция
ω = f (z) = Re z	производную в произвольной точке z0 .

Решение. По условию, ω = Re z = x . В силу определения

производной, предел (1.1) не должен зависеть от того, по какому пути

Рис. 3.1 32

точка

z = z0 +

приближается к z0 при

z → 0 .

Возьмем

вначале

z =

x (рис. 3.1, а). Так как

ω =

x , то

=1.

z = i

y (рис.

Если

же

взять

3.1,

б),

то

x = 0

и,

следовательно,

ω = 0 .

Значит, и

= 0 .

Поэтому

предел

отношения

при z → 0 не существует и, следовательно,

функция ω = Re z = x не имеет производной ни в одной точке. В то же время функция ω = z = x +iy , очевидно, имеет производную в любой точке z0 , и f ′(z0 ) =1. Отсюда ясно, что

действительная и мнимая части дифференцируемой функции f (z) не могут быть произвольными; они должны быть

связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной f ′(z0 ) существенно более

ограничено, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (1.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка z = z0 + z приближается к

z0 при z → 0 . Для вывода указанных соотношений

напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.

Действительная	функция	u = u(x, y) действительных
переменных х и у	называется	дифференцируемой в точке

P0 (x0 , y0 ) , если она определена в некоторой окрестности точки

P0 и ее полное приращение	u = u(x0 +	x, y0 +	y) −u(x0 , y0 )
представимо в виде
u = B x +C y + β( x,	y) x +γ(	x, y)	y ,	(1.3)

где В и С — действительные числа, не зависящие от x ,					y , а
β и γ	— действительные функции переменных		x	и	y ,
стремящиеся к нулю при x → 0 ,		y → 0 .
Если функция u дифференцируема в точке			P0	то она
имеет	частные производные в	P , причем	B = ∂u(P0 ) ,
		0		∂x
				∂x

C = ∂u∂(yP0 ) . Но (в отличие от функций одного переменного) из

существования частных производных функции u(x, y) еще не

следует ее дифференцируемость.

2. Условия Коши—Римана.

Теорема 1.1. Пусть функция комплексного переменного ω = f (z) = u(x, y) +iv(x, y) определена в окрестности точки

z0 = x0 +iy0 . Для того чтобы f (z) была дифференцируемой в точке z0 , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и

v(x, y)

были дифференцируемыми в точке (x , y )

и чтобы в

этой точке выполнялись условия

∂u

∂v

∂u = − ∂v .

(1.4)

∂x

∂y

∂x

Равенства (1.4) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство. Необходимость. Пусть

функция

ω = f (z) дифференцируема в точке z0 , т.е.

ω =

u +i

v = f ′(z0 )

z +α(

z) z.

(1.5)

Обозначим

f ′(z0 ) = a +ib ;

α(

z) = β( x,

y) +iγ( x, y) ;

z =

x +i

y ,

где

—

действительные

функции

переменных

x ,

y ,

стремящиеся к

нулю

при

x → 0 ,

y → 0 .

Подставляя эти

равенства

(1.5)

выделяя

действительные и мнимые части, получим

u +i y = (a +ib)( x +i y) +(β +iγ)( x +i y) =

= (a x −b

y + β

x −γ

y) +i(b x +a

y +γ

x + β

y) . (3.6)

Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (1.6) равносильно системе равенств

u = a x −b y + β x −γ y,	(1.7)
v = b x +a y +γ x + β y.

Равенства (1.7) означают, что функции u(x, y) и v(x, y)

удовлетворяют условию (1.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при x и y

равны частным производным по х и у соответственно, то из (1.7) получаем

a = ∂u ;		−b = ∂u	;
∂x		∂y	(1.8)
b = ∂v		a − ∂v ,	(1.8)
b = ∂v	;	a − ∂v ,
∂x		∂y
откуда и следуют условия (1.4).
Достаточность. Предположим			теперь, что функции

u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) и v(x, y) и

выполнены условия (1.4). Обозначая a =	∂u	,	b = −	∂u	и
	∂x			∂y

применяя (1.4), придем к равенствам (1.8). Из (1.8) и условия дифференцируемости функций u(x, y) , v(x, y) имеем

u = a x −b y + β1 x −γ1 y,
v = b x +a y + β2 x +γ2 y,
где β1,γ1, β2 ,γ2 — функции, стремящиеся к нулю при				x → 0 ,
y → 0 . Отсюда
u +i v = (a +ib)( x +i	y) +(β1 +iβ2 )	x +(γ1 +iγ2 )	y.	(1.9)
Определим функцию α(	z) равенством
α( z) = (β1 +iβ2 ) x +(γ1 +iγ2 ) y
и положим A = a +ib .	z
и положим A = a +ib .	Тогда (1.9)	перепишется	в	виде

равенства

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)