Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

t, 0 t 1

f (t) 2 t, 1 t 2

0, 2 t 3

Для нахождения изображения периодической функции воспользуемся формулой

	1		T
F(p)			e pT f (t)dt.
	1 e	pT
		0

Для данной функции получим

	1 1			pt	2	pt	3	pt
F(p)			te		dt (2 t)e		dt 0 e		dt .
F(p)	1 e	3p	te		dt (2 t)e		dt 0 e		dt .
	1 e		0		1		2

Третий интеграл равен нулю, а первые два интегрируем по частям и получаем

te pt

e pt

(2 t)e pt

e pt

1 e p 2

F(p)

1 e

	1 e p
		.
	p2 1 e p e 2p

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи[23], №№ 564-570, 578,580-584.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 40 - 41

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОРИГИНАЛ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ

Литература: [12], с. 420-430; [21], с. 260-262; [25], с. 400-441; [24], с. 136-141; [23],с. 138-140; [29].

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое передаточная функция дифференциального уравнения?

131

2.Что такое «входной» и «выходной» сигналы? (По терминологии из ТАУ). Как через них определяется передаточная функция?

3.Как вводится понятие передаточная функция для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями?

4.Как используется понятие передаточной функции для нахождения решения линейного дифференциального уравнения?

5.Что такое интеграл Дюамеля? Запишите его.

6.какие теоремы операционного исчисления используются при выводе интеграла Дюамеля?

7.Как вводится интеграл Дюамеля с использованием передаточной функции?

8.При решении каких задач (математических и прикладных) используется формула Дюамеля?

Дополнительные вопросы

1.Для каких функций существует изображение по Лапласу? Как на практике по виду функции-оригинала определить, существует ли для нее изображение по Лапласу? [32], с. 386-388

2.Роль нулевых начальных условий при определении взаимного соответствия межу описание системы управления дифференциальным уравнением и передаточной функцией [30],

с. 60-61; [31], с. 40-43.

3.Показать, что передаточная функция может применяться для описания только линейных звеньев и систем автоматического регулирования. Указание: воспользоваться принципом суперпозиции.

4.Как определить общую передаточную функцию звеньев, соединенных последовательно, параллельно, в виде об-

ратной связи? [30], с .78-84; [31], с. 64-70.

5.Передаточные функции типовых динамических звеньев систем автоматического регулирования. Как по виду

132

передаточной функции определить характер переходного процесса на выходе звена при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия? [31], с. 55-62.

6. Изображение функции по Фурье как частный случай изображения по Лапласу. Физический смысл изображения функции по Фурье и его использование для частного описания элементов и систем управления. [30], с. 51-52; [31], с. 44-49.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [23] №№ 580, 581, 584.

Форма отчетности: устный опрос, реферат.

ЗАНЯТИЕ № 4243

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ДЮАМЕЛЯ

Литература: [21], с. 260-262; [12], с. 429-430; [25], с. 400-441; [22], с. 263-264;[23], с. 138-140.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое свертка функций-оригиналов?

2.Каковы свойства свертки функций?

3.Как выводится формула Дюамеля?

4.Запишите интеграл и формулу Дюамеля.

5.Каков алгоритм решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с использованием Дюамеля?

6.По каким формулам находится решение задачи (2) –

(3)?

7.В каких случаях применяют формулу Дюамеля при решении дифференциальных уравнений?

133

Примеры решения задач Пример 1. Решить задачу Коши

	1	,
	1 et
x (t) x(t)			x(0) x (0) 0.

Решение. Рассмотрим вспомогательную задачу

x	(t) x (t) 1,	x (0) x		(0) 0.
1	1	1	1

Выполняя преобразование Лапласа к обеих частям вспомогательного уравнения, получаем

							p2 X1(p) X1(p)										1	.
							p2 X1(p) X1(p)											.
		Откуда находим															p
		Откуда находим											1
							X1			(p)			1				.
							X1			(p)		p p2			1		.
												p p2			1
		Получаем по методу неопределенных коэффициентов
			1			A	B				C			1			2		1	1
X		(p)	1			A	B				C			1			2		1	1
	1			2
	1		p(p	2																p 1	.
			p(p		1)	p p 1					p 1		2				p p 1			p 1
		Находим оригинал
						x (t)		1	2 et				e t			cht 1.
						x (t)			2 et				e t			cht 1.
						1	2
							2

Находим производную оригинала:

x1 (t) sht.

По формуле (9) получаем

134

e t

x(t)

sh(t

1 e

e 2

e t

d 1 e

1 e

1 1

e t

ln1 e

d 1 e

1 e

e t

1 et

ln1 e

e t

1 et

2 2

sht ln

1 et

tet

Пример 2. Операционным методом решить задачу Коши

x	x	1	,
		1 cos2t
				x(0) x (0) 0.

Решение. Так как изображение правой части найти сложно, то данную задачу можно решить, используя интеграл Дюамеля. Вспомогательное уравнение x x 1 в операторной


форме имеет вид X1 p2	1		1	, откуда находим

			p			p
X		1			1
	1	p p2 1					.
					p	p2 1

Находим оригинал

x1(t) 1 cost.

Производная оригинала x1 sint.

135

Источник: https://studfile.net/preview/16565425/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога