Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М
Подставим теперь в систему 3 1:
8x1 12x2 6x3 0
10x1 18x2 10x3 0 .12x1 24x2 14x3 0
Прибавив первое уравнение ко второму, замечаем, что эта система эквивалентна системе
4x 6x 3x 0 |
4x 6x 3x 0 |
|
|
|
2x x 0 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
3 |
3 |
|
. |
1 |
3 |
|||||||
5x1 9x2 5x3 0 |
|
6x2 5x3 0 |
|
|
6x2 5x3 0 |
||||||||||||||||
|
|
Частному решению |
этой системы соответствует |
собствен- |
|||||||||||||||||
ный вектор |
a |
3 3, 5, |
6 . |
|
|
|
a1, |
|
a |
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
Найденные собственные векторы |
|
2 , |
3 образуют ба- |
||||||||||||||||
зис, |
в котором матрица A линейного оператора имеет следую- |
||||||||||||||||||||
щий диагональный вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Отметим, что все собственные векторы, соответствую- |
||||||||||||||||||
щие собственному значению |
1, |
определяются равенством |
|||||||||||||||||||
a |
|
|
|
a1 |
a |
2 , где |
и |
– произвольные числа не равные |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одновременно нулю. Все собственные векторы, соответствующие собственному числу 1, определяются равенством a 1 a3 , где 0 – произвольное число.
Пример 2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором базисе симметричной матрицей
21
|
2 |
2 |
2 |
|
|
A |
|
2 |
5 |
4 |
|
|
. |
||||
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|||
Решение. Записываем характеристическое уравнение:
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
1 2 10 0. |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|||
|
Корни этого уравнения: 1 10 и 2 3 |
1. |
|||||||||||||
|
Составляем систему для определения координат собст- |
||||||||||||||
венных векторов: |
2 x1 2x2 2x3 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 5 x2 4x3 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 4x 5 x 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
Подставляем в систему 1 10: |
|
|
|
|||||||||||
8x 2x 2x 0 |
|
2x 5x 4x 0 |
|
2x x 0 |
|||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|||||||||||
|
2x 5x 4x 0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 3 |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
x2 x3 0 |
x2 x3 0 |
||||||
|
|
5x3 0 |
|
||||||||||||
2x1 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Частному решению этой системы соответствует собст- |
||||||||||||||
венный вектор |
a1 1, 2, 2 . |
|
Подставляем |
в систему |
|||||||||||
2 3 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
2x |
2 |
2x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
x1 2x2 2x3 0 |
||||||
|
|
2x1 4x2 4x3 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 4x2 4x3 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Частному решению этой системы соответствует собственный вектор a2 2, 0,1 . Заметим, что a1 a2 0 a1 a2 .
22
Третий собственный вектор находим как векторное произведе-
ние:a3 a1 a2 2, 5, 4 .
Ортонормированный базис будут составлять векторы:
|
e |
|
1 |
, |
2 |
, |
2 |
|
, |
|
|
|
e |
|
|
2 |
, 0, |
1 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
, |
|
|
5 |
|
|
, |
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
5 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Матрица A линейного оператора в этом базисе имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
диагональный вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [7], 4.134, 4.136, 4.172-4.175, 4.184.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.
ЗАНЯТИЕ № 7
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
Литература: [1], с. 51-60; [2], с. 59-66,; [15], c. 111-116; [16],c. 41-45.
Контрольные вопросы и задания
1. Напишите общее уравнение прямой и частные случаи этого уравнения.
23
2. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициен-
том.
3.Как вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки?
4.Как можно преобразовать общее уравнение прямой в нормальное уравнение?
5.Как находится угол между двумя прямыми на плоско-
сти?
6.Напишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
7.По какой формуле определяется расстояние от точки до данной прямой на плоскости?
Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение прямой 4x-3y+12=0 представить в различных видах: с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения.
Решение. Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим данное уравнение относительно у , получим
y 4 x 4 - это уравнение прямой с угловым коэффициентом
3
k4 , b = 4 – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.
3
Для получения уравнения прямой в отрезках перепишем его в виде 4x 3y 12и разделим обе части уравнения на -12,
в результате получим |
x |
|
|
y |
1 - уравнение прямой в отрез- |
3 |
|
||||
|
4 |
|
|||
ках, где a = -3,b = 4 – координаты пересечения прямой с осью Ox и Oy соответственно.
Приведём исходное уравнение к нормальному виду x cos y sin p 0.. Для этого умножим обе части данно-
го |
уравнения |
на |
нормирующий |
множитель |
24
|
|
1 |
|
|
1 |
(µ<0, так как С=12>0). В итоге по- |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
42 ( 3)2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
лучим |
нормальное уравнение |
4 |
x |
3 |
y |
12 |
0, где cos |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
5 |
|
|||
|
4 |
, sin |
3 |
, |
p |
12 |
- расстояние от точки О(0, 0) до пря- |
5 |
5 |
|
5 |
|
|||
мой. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точ-
ки А(0 , 2) и В(-3, 7).
Решение. |
Используем уравнение. |
у у1 |
|
|
х х1 |
.. Полагая в |
|||||||||||||
у2 у1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 х1 |
|||||||||||
нем х1 = 0, х2 = -3, у1 = 2, у2 = 7, получим |
y 2 |
|
|
x 0 |
, т.е. -3у |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
+ 6 = 5х или 5х + 3у – 6 = 0. |
7 2 |
|
3 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример |
3. Найти угол |
между прямыми |
|
2x 3y 10 0 и |
|||||||||||||||
5x y 4 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Воспользуемся |
формулой tg |
|
A1B2 A2B1 |
|
, под- |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
A1A2 B1B2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ставив в |
нее А1= 2, В1 |
= -3, А2 = |
5, |
|
В2 |
= -1, получим |
|||||||||||||
|
2 ( 1) 5 ( 3) |
|
1, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 5 ( 3) ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4. Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0 и х+2у- 9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.
Решение. Найдем сначала точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений:
3x 2y 5 0 |
4x 4 0 |
x 1 |
|
|
|
x 2y 9 0 |
x 2y 9 0 |
y 4 |
Получаем М(1,4) – точка пересечения этих прямых. Угловой коэффициент прямой 2х+у+6=0 k1 = -2, следовательно
25